Intervalle de fluctuation et loi binomiale

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Pour une variable X \sim \mathcal{B}(n\,;p), un intervalle de fluctuation au seuil 95\,\% est un intervalle [a\,;b] (avec a, b entiers) tel que P(a \leqslant X \leqslant b) \geqslant 0{,}95. Il décrit les valeurs plausibles du nombre de succès lorsque l'hypothèse sur p est vraie. On le détermine généralement à la calculatrice en laissant environ 2{,}5\,\% de probabilité de chaque côté.

Il sert à la prise de décision : on compare une valeur observée à l'intervalle. Si elle est à l'intérieur, l'hypothèse sur p est compatible avec l'observation ; si elle est à l'extérieur, on rejette l'hypothèse, au risque de 5\,\% de se tromper.

Formules à connaître

  • Condition : P(a \leqslant X \leqslant b) \geqslant 0{,}95.
  • a = plus petit entier tel que P(X \leqslant a) > 0{,}025.
  • b = plus petit entier tel que P(X \leqslant b) \geqslant 0{,}975.
  • P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a-1).
  • Intervalle approché des fréquences : \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right].

Méthodes type bac

Déterminer l'intervalle. À la calculatrice, on lit les probabilités cumulées P(X \leqslant k) et on cherche les bornes laissant 2{,}5\,\% de chaque côté. On vérifie ensuite P(a \leqslant X \leqslant b) \geqslant 0{,}95.

Décider. On calcule l'effectif observé (ou la fréquence), on regarde s'il appartient à l'intervalle de fluctuation. Conclusion type : « la valeur observée appartient / n'appartient pas à l'intervalle, donc l'hypothèse est compatible / rejetée au seuil de 5\,\% ».

Pièges fréquents

  • Décalage d'indice : P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a-1) (retrancher a-1, pas a).
  • L'intervalle de fluctuation porte sur l'EFFECTIF X ; pour la fréquence, on divise les bornes par n.
  • Le rejet n'est pas une certitude : il subsiste un risque d'erreur d'environ 5\,\%.

Pour l'épreuve

Sache déterminer un intervalle de fluctuation à la calculatrice et l'utiliser pour une prise de décision. La rédaction de la conclusion est notée : précise toujours le seuil, la comparaison « dans / hors de l'intervalle » et la décision (compatible ou rejetée). C'est une application directe de la loi binomiale et de ses probabilités cumulées. Évite les conclusions trop catégoriques : un rejet signifie que l'observation est peu compatible avec l'hypothèse au seuil choisi, pas que l'hypothèse est « fausse » avec certitude. Le risque d'erreur d'environ 5\,\% doit être mentionné quand on conclut. Enfin, lorsque l'énoncé fournit déjà des probabilités cumulées, contente-toi de les combiner correctement : c'est la maîtrise du décalage d'indice a-1 et la qualité de la phrase de décision qui font la différence sur le barème de ce type de question.