La fonction exponentielle

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur \mathbb{R} telle que f'=f \quad\text{et}\quad f(0)=1. On la note \exp, et pour tout réel x on écrit \exp(x)=e^x, où e=\exp(1)\approx 2{,}718.

Propriétés fondamentales (pour tous réels a, b) : - e^{a+b}=e^a\times e^b (relation fonctionnelle) ; - e^0=1 ; - e^x>0 pour tout réel x (l'exponentielle ne s'annule jamais) ; - \exp est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc injective : e^A=e^B\iff A=B.

Formules

  • e^{a+b}=e^a e^b ; e^{-a}=\dfrac{1}{e^a} ; \dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b} ; \left(e^a\right)^n=e^{na}.
  • (e^x)'=e^x ; plus généralement \left(e^{u}\right)'=u'\,e^{u}.
  • e^A=e^B\iff A=B et e^A\le e^B\iff A\le B.
  • e^x=k admet une solution si et seulement si k>0, et alors x=\ln k.

Méthodes type bac

1. Résoudre une équation/inéquation exponentielle : se ramener à e^A=e^B (puis A=B) ou à e^A\le e^B (puis A\le B grâce à la croissance). 2. Substitution : pour un trinôme en e^x, poser X=e^x>0, résoudre, écarter les solutions négatives ou nulles, puis revenir avec le logarithme. 3. Simplifier une expression : utiliser e^{a+b}=e^a e^b pour regrouper, ou multiplier numérateur et dénominateur par e^x pour faire apparaître une forme connue. 4. Étudier la parité : calculer f(-x) et comparer à f(x) ou -f(x).

Pièges

  • e^{a+b}\neq e^a+e^b : l'exponentielle transforme la somme en produit, pas en somme.
  • e^x n'est jamais nul ni négatif : une équation e^x=-2 n'a aucune solution.
  • Lors de la substitution X=e^x, ne garder que les valeurs X>0 ; une racine négative est à rejeter.
  • \left(e^a\right)^n=e^{na} et non e^{a^n} : ne pas confondre puissance d'exponentielle et exponentielle d'une puissance.

Pour l'épreuve

L'exponentielle est omniprésente dans le programme de maths complémentaires (croissance, équations différentielles, lois exponentielles). Connais parfaitement la relation e^{a+b}=e^a e^b, le fait que e^x>0 et l'équivalence e^A=e^B\iff A=B. La technique de substitution X=e^x revient très régulièrement : c'est elle qui débloque les équations « du second degré en exponentielle ». Pour résoudre une équation de ce type, on pose X=e^x en précisant impérativement la contrainte X>0, on résout le trinôme en X, on écarte toute racine négative ou nulle, puis on revient à x par le logarithme népérien. Les inéquations se traitent grâce à la stricte croissance de la fonction exponentielle, qui permet de conserver le sens de l'inégalité en passant des exposants à leurs arguments. N'oublie pas non plus que multiplier numérateur et dénominateur par e^x est une astuce classique pour simplifier une expression comportant des e^{-x}, comme dans l'étude des fonctions impaires. La calculatrice donne directement les valeurs numériques de e^x et de \ln k, ce qui permet de fournir une valeur approchée tout en conservant l'écriture exacte dans la rédaction.