Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Le coefficient binomial \dbinom{n}{k} (lu « k parmi n ») désigne le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre. Dans le cadre des lois discrètes, il compte le nombre de chemins comportant exactement k succès dans un schéma de Bernoulli à n répétitions.
Il se calcule avec les factorielles : \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}, où n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n (et 0! = 1).
Calcul rapide. Pour de petits k, on simplifie : \dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}. Par exemple \dbinom{10}{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120. La calculatrice donne aussi directement la combinaison.
Utiliser la symétrie. Pour \dbinom{8}{5}, il est plus simple de calculer \dbinom{8}{3} : les deux sont égaux par symétrie et le second a un dénominateur plus petit.
Interpréter. Dans un schéma de Bernoulli, \dbinom{n}{k} est le nombre de manières de placer k succès parmi n positions : c'est ce facteur que l'on retrouve dans la loi binomiale.
Les coefficients binomiaux sont l'ingrédient combinatoire de la loi binomiale. Sache les calculer à la main pour les petites valeurs et à la calculatrice pour les grandes. Mémorise les valeurs particulières et la symétrie : elles permettent des vérifications rapides. La relation de Pascal, vue au chapitre suivant, structure le triangle de Pascal et fournit une autre voie de calcul. Garde à l'esprit l'interprétation concrète : \dbinom{n}{k} répond à la question « de combien de façons peut-on choisir k objets parmi n sans tenir compte de l'ordre ? ». C'est cette idée qui justifie son apparition dans la formule de la loi binomiale, où il compte les positions possibles des k succès. Lorsqu'un énoncé mêle dénombrement et probabilités, repère toujours s'il s'agit d'un choix ordonné (arrangement) ou non ordonné (combinaison) : seul le second utilise \dbinom{n}{k}. En cas de doute sur un calcul, la symétrie \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k} et les valeurs de bord \dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1 permettent de contrôler rapidement un résultat. Un coefficient binomial est toujours un entier positif : si ta calculatrice affiche un nombre décimal, c'est que tu as utilisé une mauvaise fonction (par exemple une puissance au lieu d'une combinaison).