Les suites géométriques

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Une suite (u_n) est géométrique de raison q si, pour tout n, u_{n+1}=q\,u_n. Le quotient de deux termes consécutifs est constant : \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q (pour u_n\neq 0).

Forme explicite : u_n=u_0\times q^{\,n}, et plus généralement u_n=u_p\times q^{\,n-p}.

Sens de variation (pour u_0>0 et q>0) : croissante si q>1, décroissante si 0<q<1, constante si q=1. Pour q<0, la suite alterne de signe et n'est pas monotone. Une suite géométrique modélise toute évolution à taux constant : à chaque période, la quantité est multipliée par le même facteur. C'est le modèle des intérêts composés, de la croissance d'une population sans contrainte, ou de la décroissance d'une substance qui se dégrade d'un même pourcentage à chaque étape.

Formules

  • Terme général : u_n=u_0\times q^{\,n}.
  • Raison : q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}.
  • Somme : \displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0\times\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q} (pour q\neq 1).
  • Intérêts composés : C_n=C_0\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^n.

Méthodes type bac

  • Reconnaître une suite géométrique : montrer que le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} est constant, ou qu'une évolution se fait à taux constant (multiplication par un même coefficient à chaque étape).
  • Retrouver q et u_0 à partir de deux termes non consécutifs : utiliser \dfrac{u_n}{u_m}=q^{\,n-m}, en extraire q par racine, puis remonter à u_0.
  • Calculer une somme : appliquer la formule u_0\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q} en comptant soigneusement le nombre de termes.
  • Modéliser une croissance ou décroissance à taux constant : reconnaître le coefficient multiplicateur 1+\dfrac{t}{100} (hausse) ou 1-\dfrac{t}{100} (baisse) comme raison.

Pièges

  • u_n=u_0\times q^{\,n} : le rang 0 correspond à l'exposant 0, pas 1. Vérifier le rang de départ donné par l'énoncé (parfois u_1 au lieu de u_0).
  • Compter les termes : de u_0 à u_n il y a n+1 termes, donc l'exposant dans la formule de somme est n+1 ; de u_0 à u_{11} il y a 12 termes, exposant 12.
  • Pour q<0, la suite n'est pas monotone (alternance de signes) : ne pas conclure trop vite sur le sens de variation.
  • Une augmentation de t\% ne se traduit pas par « +t » mais par une multiplication par 1+\dfrac{t}{100}.

Pour l'épreuve

Pour justifier qu'une suite est géométrique, le calcul \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q (constant) est attendu et rapporte des points. Dans les problèmes financiers, le coefficient multiplicateur 1+\dfrac{t}{100} est la raison de la suite. La formule de somme doit être appliquée avec le bon exposant : compter les termes avant de calculer, sous peine d'erreur d'un facteur entier. La calculatrice sert à évaluer les puissances et les sommes, mais garde des écritures exactes (fractions, formule littérale) dans la rédaction et n'arrondis qu'au résultat final, en respectant la précision demandée (souvent le centime pour un montant).