Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Soit (u_n) une suite réelle.
(u_n) converge vers \ell\in\mathbb{R} si tout intervalle ouvert contenant \ell contient tous les termes u_n à partir d'un certain rang. On écrit \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. La suite est dite convergente.
(u_n) a pour limite +\infty si tout intervalle ]A\,;+\infty[ contient tous les termes à partir d'un certain rang ; de même pour -\infty avec ]-\infty\,;A[.
Une suite est divergente si elle n'est pas convergente : soit sa limite est \pm\infty, soit elle n'admet pas de limite (cas de u_n=(-1)^n).
Intuitivement, dire que u_n\to\ell signifie que, passé un certain rang, tous les termes sont « collés » à \ell : l'écart |u_n-\ell| devient aussi petit que l'on veut. Dire que u_n\to+\infty signifie au contraire que les termes finissent par dépasser n'importe quel seuil fixé à l'avance. La limite, lorsqu'elle existe, est toujours unique.
Quotient de polynômes en n : factoriser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de n, simplifier, puis utiliser \dfrac{1}{n^k}\to 0. Par exemple \dfrac{3n+1}{n}=3+\dfrac{1}{n}\to 3.
Somme avec un terme négligeable : isoler le morceau qui tend vers 0 (souvent une fraction en \dfrac{1}{n}) et appliquer la limite de la partie principale.
Conjecturer puis prouver : la calculatrice (mode suite ou table de valeurs) donne le comportement numérique ; la justification rigoureuse passe ensuite par les théorèmes d'opérations ou de comparaison.
Trouver un rang : pour montrer |u_n-\ell|<\varepsilon à partir d'un rang, on traduit l'inégalité en une inéquation portant sur n, que l'on résout. Cela illustre concrètement la définition de la convergence.
Pièges
« Diverger » ne signifie pas « tendre vers l'infini » : une suite oscillante comme u_n=(-1)^n diverge sans limite infinie, car elle ne se rapproche d'aucune valeur unique.
\dfrac{1}{n}\to 0 mais n\to+\infty : ne pas inverser. Les termes en \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{1}{\sqrt n} deviennent négligeables à l'infini.
La limite d'une suite convergente est unique : une suite ne peut pas tendre vers deux valeurs différentes.
Une suite peut être bornée sans converger (ex. (-1)^n est bornée mais diverge) : la bornitude seule ne suffit pas.
Pour l'épreuve
Rédige toujours en citant le résultat utilisé : « comme \dfrac{1}{n}\to 0, par opérations sur les limites… ». Pour un quotient de polynômes, la factorisation par le terme dominant est attendue explicitement et doit apparaître dans la copie. Distingue clairement, dans la conclusion, la convergence (limite finie \ell\in\mathbb{R}) de la divergence (limite infinie ou absence de limite). Les limites de référence (\dfrac{1}{n}\to 0, n\to+\infty, \sqrt n\to+\infty) sont à connaître par cœur et à citer sans démonstration.