Limite de suites géométriques

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Le comportement à l'infini d'une suite géométrique repose entièrement sur la limite de q^n.

\lim_{n\to+\infty}q^n=\begin{cases}0 & \text{si } -1<q<1\\[2pt] 1 & \text{si } q=1\\[2pt] +\infty & \text{si } q>1\\[2pt] \text{pas de limite} & \text{si } q\le -1\end{cases}

Pour une suite géométrique u_n=u_0\times q^{\,n}, la limite se déduit de celle de q^n multipliée par u_0 : si -1<q<1 la suite converge vers 0, si q>1 elle diverge vers +\infty (pour u_0>0) ou -\infty (pour u_0<0), et si q\le -1 elle n'a pas de limite. Ce résultat est la pierre angulaire de l'étude des suites géométriques, des sommes géométriques et des modèles de croissance ou de décroissance exponentielle. La valeur absolue de la raison gouverne entièrement le comportement à l'infini.

Formules

Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q\neq 1 : 1+q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q} Si -1<q<1, q^{\,n+1}\to 0, donc \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1}{1-q}.

Méthodes type bac

  • Identifier la raison q, puis appliquer la disjonction de cas pour q^n : c'est l'étape décisive de tout exercice sur les suites géométriques.
  • Factoriser par le terme dominant dans un quotient d'exponentielles : par exemple \dfrac{2^n+3^n}{3^n} se ramène à \left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1, qui tend vers 1 car 0<\dfrac{2}{3}<1.
  • Calculer la limite d'une somme géométrique : appliquer la formule 1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q} puis faire tendre q^{\,n+1} vers 0 (valable seulement si -1<q<1).
  • Combiner avec les opérations : une suite du type a\times q^n+b tend vers b si -1<q<1, ce qui est le cœur des suites arithmético-géométriques.

Pièges

  • q^n\to 0 seulement si -1<q<1 STRICTEMENT. Pour q=1, q^n=1 (donc tend vers 1, pas vers 0). Pour q\ge 1, q^n ne tend jamais vers 0.
  • Pour q\le -1, q^n n'a pas de limite : oscillation d'amplitude constante (q=-1) ou croissante (q<-1).
  • Une raison négative dans ]-1\,;0[ donne quand même une limite 0, car c'est |q|<1 qui gouverne la convergence vers 0 ; les termes alternent de signe mais leur amplitude s'écrase.
  • Ne pas oublier l'exposant n+1 dans la formule de la somme : il y a n+1 termes de u_0 à u_n.

Pour l'épreuve

Énonce explicitement la valeur de la raison et la condition : « comme -1<q<1, on a q^n\to 0 ». C'est la phrase clé attendue par tout correcteur. Pour une somme, applique la formule géométrique avant de passer à la limite, et précise le nombre de termes. Vérifie toujours que q appartient bien à ]-1\,;1[ avant d'écrire que q^n\to 0 : c'est l'erreur la plus sanctionnée. La limite de q^n est un résultat de cours fondamental, réinvesti dans les suites arithmético-géométriques, les sommes de séries et de nombreux problèmes de modélisation (capitalisation, décroissance radioactive, etc.).