Compléments : croissances comparées et dérivée composée

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Croissances comparées (le logarithme croît plus lentement que toute puissance) : \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0,\qquad \lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0. Plus généralement, pour tout n>0 : \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0.

Dérivée composée : si u est dérivable et strictement positive sur I, alors \ln(u) est dérivable et \big(\ln(u)\big)'=\dfrac{u'}{u}.

Formules

  • \big(\ln(u)\big)'=\dfrac{u'}{u}.
  • \big(\ln(ax+b)\big)'=\dfrac{a}{ax+b}.
  • \big(\ln(x^2+1)\big)'=\dfrac{2x}{x^2+1}.

Méthodes type bac

  • Lever une forme indéterminée \frac{\infty}{\infty} ou 0\times\infty : reconnaître une croissance comparée et conclure (limite 0).
  • Changement de variable : pour \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}, écrire \ln x=2\ln\sqrt{x} et poser t=\sqrt{x} afin de se ramener à \dfrac{\ln t}{t}.
  • Dériver \ln(u) : identifier u, vérifier u>0, calculer u', appliquer \dfrac{u'}{u}. Le signe de la dérivée est souvent celui de u' (car u>0).

Pièges

  • \ln(u) n'est définie que là où u>0 : toujours préciser le domaine.
  • Ne pas confondre \big(\ln(u)\big)'=\dfrac{u'}{u} avec \dfrac{1}{u} (oubli de u').
  • En 0^+, x\ln x\to 0 et non -\infty : c'est le produit qui est étudié.

Pour l'épreuve

Les croissances comparées débloquent presque toutes les limites mêlant \ln et puissances : mémorise \dfrac{\ln x}{x}\to 0 et x\ln x\to 0. La dérivée composée \dfrac{u'}{u} est l'outil de dérivation de référence et prépare directement les primitives en \dfrac{u'}{u}. Le facteur u' ne doit jamais être oublié.