Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Les théorèmes de comparaison permettent de déterminer une limite sans calcul direct, en encadrant la suite par des suites dont on connaît la limite.
Théorème des gendarmes (ou d'encadrement). Si, à partir d'un certain rang, v_n\le u_n\le w_n et si \displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}w_n=\ell avec \ell fini, alors (u_n) converge et \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.
Comparaison vers l'infini.
- Si u_n\ge v_n (à partir d'un certain rang) et \displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty, alors \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.
- Si u_n\le w_n (à partir d'un certain rang) et \displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n=-\infty, alors \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty.
Formules
Encadrements de base : pour tout réel x, -1\le\sin x\le 1 et -1\le\cos x\le 1 ; pour tout n, -1\le(-1)^n\le 1.
Méthodes type bac
Limite finie suspectée : encadrer u_n entre deux suites v_n et w_n de même limite finie \ell, puis invoquer le théorème des gendarmes pour conclure u_n\to\ell.
Limite infinie suspectée : une seule comparaison suffit (minoration par une suite tendant vers +\infty, ou majoration par une suite tendant vers -\infty).
Avec une fonction trigonométrique : partir de l'encadrement de base -1\le\sin n\le 1, puis diviser, multiplier ou ajouter pour reconstituer u_n. Par exemple, de -1\le\sin n\le 1 on tire -\dfrac{1}{n}\le\dfrac{\sin n}{n}\le\dfrac{1}{n}.
Avec un terme oscillant (-1)^n : utiliser -1\le(-1)^n\le 1 pour encadrer puis conclure par les gendarmes lorsque le dénominateur tend vers l'infini.
Pièges
Le théorème des gendarmes exige que les deux bornes aient la même limite finie ; deux limites différentes ne concluent rien.
Pour une limite infinie, une seule inégalité suffit : on ne peut pas « encadrer vers +\infty » par deux suites de limite infinie.
Diviser une inégalité par une quantité négative en inverse le sens : vérifier que le diviseur (souvent n, n^2 ou n^2+1) est strictement positif avant de diviser.
L'encadrement ne doit être valable qu'« à partir d'un certain rang », ce qui est toujours le cas ici puisque n\ge 1.
Pour l'épreuve
Toujours nommer le théorème employé : « par le théorème des gendarmes » ou « par comparaison ». Écrire l'encadrement de gauche à droite proprement (v_n\le u_n\le w_n), justifier la limite de chaque borne, puis conclure par le passage aux limites. Les suites du type \dfrac{\sin n}{n}, n+\cos n ou \dfrac{2+(-1)^n}{n} sont des classiques absolus où la comparaison est la seule voie, car le calcul direct est impossible (le terme oscillant n'a pas de limite). C'est l'outil de référence dès qu'apparaît un sinus, un cosinus ou une puissance de -1.