Limites et compléments sur la fonction exponentielle

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Limites aux bornes de \mathbb{R} : \lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty, \qquad \lim_{x\to -\infty}e^x=0. La droite d'équation y=0 est asymptote horizontale à la courbe de \exp en -\infty.

Croissances comparées (résultats du programme) : \lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to -\infty}x\,e^x=0. Plus généralement, pour tout entier n\ge 1 : \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty et \displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^n e^x=0.

Limite du taux d'accroissement : \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1, qui est le nombre dérivé de \exp en 0.

Formules

\displaystyle\lim_{+\infty}e^x=+\infty, \displaystyle\lim_{-\infty}e^x=0.
\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty, \displaystyle\lim_{-\infty}x^n e^x=0.
\displaystyle\lim_{0}\dfrac{e^x-1}{x}=1.
Hiérarchie en +\infty : \ln x \ll x^n \ll e^x.

Méthodes type bac

1. Forme indéterminée \infty-\infty (ex. e^x-x^2) : factoriser par e^x, puis utiliser \dfrac{x^2}{e^x}\to 0. 2. Forme \frac{\infty}{\infty} (ex. \dfrac{2e^x+3}{e^x-1}) : factoriser par e^x haut et bas, simplifier, les termes \dfrac{1}{e^x} tendent vers 0. 3. Reconnaître la limite usuelle \dfrac{e^x-1}{x}\to 1 : ne pas chercher à lever par factorisation, c'est un résultat du cours. 4. Asymptotes : une limite finie en \pm\infty donne une asymptote horizontale ; une limite infinie peut donner une branche parabolique.

Pièges

Ne pas écrire « e^x-x^2=+\infty-\infty=0 » : c'est une forme indéterminée, il faut factoriser par le terme dominant.
En croissance comparée, c'est toujours l'exponentielle qui gagne : \dfrac{e^x}{x^n}\to+\infty et non l'inverse ; de même x^n e^x\to 0 en -\infty.
\displaystyle\lim_{x\to -\infty}e^x=0 par valeurs positives (0^+), jamais négatives : l'exponentielle ne devient jamais négative.
Bien distinguer x\to+\infty et x\to-\infty : les comportements sont opposés, et une erreur de borne fausse tout le raisonnement.
La limite \dfrac{e^x-1}{x}\to 1 est un résultat de cours : ne pas tenter de la « lever » par factorisation, et ne pas la confondre avec une croissance comparée.

Pour l'épreuve

Les croissances comparées sont l'outil n°1 pour lever les indéterminations avec exponentielle. Mémorise \dfrac{e^x}{x}\to+\infty et x e^x\to 0, ainsi que la limite \dfrac{e^x-1}{x}\to 1. La méthode systématique de factorisation par e^x permet de traiter quasiment toutes les limites de fractions rationnelles en exponentielle rencontrées au bac. Concrètement, face à une forme \frac{\infty}{\infty} comme \dfrac{2e^x+3}{e^x-1}, on met e^x en facteur au numérateur et au dénominateur, on simplifie, et les termes résiduels en \dfrac{1}{e^x} tendent vers 0, ce qui livre la limite. Pour une forme \infty-\infty comme e^x-x^2, on factorise par e^x et on invoque la croissance comparée \dfrac{x^2}{e^x}\to 0. Ces limites interviennent ensuite dans la recherche des asymptotes lors d'une étude de fonction complète : une limite finie en \pm\infty révèle une asymptote horizontale, tandis qu'une limite infinie oriente vers une branche infinie. La hiérarchie \ln x \ll x^n \ll e^x en +\infty est le fil conducteur à garder en tête : elle indique immédiatement quel terme l'emporte et donc quel comportement domine la limite. La calculatrice permet de conjecturer une limite en évaluant la fonction pour de grandes valeurs, mais la justification doit s'appuyer sur les théorèmes de croissance comparée.