Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Les théorèmes d'opérations sur les limites permettent de combiner des limites connues, tant qu'on ne tombe pas sur une forme indéterminée.
Soit (u_n) et (v_n) de limites \ell et \ell' (finies ou infinies).
Somme : \lim(u_n+v_n)=\ell+\ell', sauf forme indéterminée (+\infty)+(-\infty).
Produit : \lim(u_n v_n)=\ell\times\ell' (avec règle des signes pour l'infini), sauf forme 0\times\infty.
Quotient : \lim\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\ell}{\ell'} si \ell'\neq 0, sauf formes \dfrac{0}{0} et \dfrac{\infty}{\infty}.
L'idée centrale est qu'une limite se calcule « morceau par morceau » : on détermine la limite de chaque sous-expression, puis on combine. Le calcul reste automatique tant qu'aucune des quatre situations interdites n'apparaît. Dès qu'une forme indéterminée surgit, le résultat n'est plus prévisible sans transformation : il faut réécrire l'expression (factoriser, simplifier, multiplier par une quantité conjuguée) pour faire disparaître l'indétermination.
Formules
Les quatre formes indéterminées : (+\infty)-(+\infty), \ 0\times\infty, \ \dfrac{\infty}{\infty}, \ \dfrac{0}{0}.
Règles de signe pour l'inverse : \dfrac{1}{0^+}=+\infty, \dfrac{1}{0^-}=-\infty, \dfrac{1}{\pm\infty}=0.
Méthodes type bac
Quotient de polynômes en n : factoriser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de n, simplifier, puis lire la limite. Si les degrés sont égaux, la limite vaut le rapport des coefficients dominants ; si le degré du bas l'emporte, la limite est 0.
Différence de racines (\infty-\infty) : multiplier par la quantité conjuguée pour transformer \sqrt{a}-\sqrt{b} en \dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}, qui n'est plus indéterminé.
Terme oscillant borné : isoler un terme du type \dfrac{(-1)^n}{n} et l'encadrer pour montrer qu'il tend vers 0, avant d'appliquer la somme.
Composition d'opérations : calculer d'abord les limites des morceaux, puis appliquer les théorèmes seulement si aucune forme indéterminée n'apparaît ; sinon transformer l'écriture.
Pièges
Ne jamais écrire « \dfrac{\infty}{\infty}=1 » : c'est une forme indéterminée à lever par un calcul, son résultat dépend des coefficients.
(+\infty)+(-\infty) n'est pas 0 : c'est indéterminé (ex. n^2-n\to+\infty alors que n-n^2\to-\infty).
Le signe de 0 au dénominateur change le résultat : \dfrac{1}{0^+}=+\infty mais \dfrac{1}{0^-}=-\infty.
Le produit 0\times\infty est indéterminé : par exemple \dfrac{1}{n}\times n=1, mais \dfrac{1}{n}\times n^2=n\to+\infty.
Pour l'épreuve
Annonce systématiquement la forme indéterminée rencontrée avant de la lever : le correcteur attend la phrase « on est en présence d'une forme indéterminée \dfrac{\infty}{\infty} ». La factorisation par le terme dominant et la quantité conjuguée sont les deux techniques reines de la terminale. Conclure en citant le théorème d'opérations utilisé (« par somme de limites », « par quotient de limites »). Lorsqu'aucune forme indéterminée n'apparaît, le calcul est direct : il suffit de combiner les limites des morceaux. La maîtrise de ces opérations conditionne toute l'étude des suites convergentes.