Limites et théorèmes de comparaison

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Les théorèmes de comparaison pour les fonctions servent à déterminer une limite quand le calcul direct échoue, notamment en présence d'un terme borné (\sin, \cos).

Théorème des gendarmes (encadrement). Si g(x)\le f(x)\le h(x) au voisinage de a (ou pour x assez grand) et si \displaystyle\lim g(x)=\lim h(x)=\ell avec \ell fini, alors \displaystyle\lim f(x)=\ell.

Comparaison vers l'infini. - Si f(x)\ge g(x) et \displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty, alors \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. - Si f(x)\le h(x) et \displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty, alors \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

Ces théorèmes sont indispensables dès qu'une fonction contient un terme oscillant (\sin x, \cos x) qui n'admet pas de limite : on ne peut alors pas utiliser les opérations classiques. L'astuce consiste à remplacer le terme borné par son encadrement, puis à appliquer le théorème adapté à la limite cherchée (encadrement pour une limite finie, simple comparaison pour une limite infinie).

Formules

Encadrements de base : -1\le\sin x\le 1 et -1\le\cos x\le 1 pour tout réel x.

Conséquence usuelle : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0 et \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x}=0.

Méthodes type bac

  • Limite finie suspectée : encadrer f(x) entre deux fonctions g et h de même limite finie \ell, puis conclure par le théorème des gendarmes.
  • Limite infinie suspectée : une seule inégalité suffit (minoration par une fonction tendant vers +\infty, majoration par une fonction tendant vers -\infty).
  • Terme trigonométrique borné : partir de -1\le\sin x\le 1 (ou \cos), puis reconstituer f(x) par opérations. Pour \dfrac{\cos x}{x} avec x>0, on obtient -\dfrac1x\le\dfrac{\cos x}{x}\le\dfrac1x, d'où la limite 0.
  • Décomposer avant d'encadrer : écrire \dfrac{2x+\sin x}{x}=2+\dfrac{\sin x}{x} avant d'encadrer le terme oscillant.

Pièges

  • Les gendarmes exigent que les deux bornes aient la même limite finie ; deux limites différentes ne permettent aucune conclusion.
  • Pour une limite infinie, une seule comparaison suffit : on n'encadre pas par deux fonctions.
  • Diviser par une quantité négative inverse le sens de l'encadrement : vérifier que le diviseur est strictement positif (ex. x-1>0 pour x>1).
  • L'encadrement n'a besoin d'être valable qu'au voisinage du point ou pour x assez grand, pas partout.

Pour l'épreuve

Nomme toujours le théorème employé (« par le théorème des gendarmes » ou « par comparaison »). Les fonctions \dfrac{\sin x}{x}, x+\cos x ou \dfrac{x+\cos x}{x-1} sont des classiques absolus où l'encadrement est la seule voie, car le calcul direct est impossible (un terme trigonométrique n'a pas de limite en +\infty). Soigner la rédaction de l'encadrement de gauche à droite (g(x)\le f(x)\le h(x)), justifier la limite de chaque borne, puis effectuer le passage aux limites. Ces théorèmes de comparaison sont également au cœur des démonstrations de croissances comparées et des études de fonctions où apparaît un terme borné.