Loi binomiale

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La loi binomiale \mathcal{B}(n\,;p) est la loi de la variable aléatoire X comptant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli : n répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

La variable X prend ses valeurs dans \{0\,;1\,;\dots\,;n\}, et pour chaque entier k : P(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}. Le coefficient \dbinom{n}{k} compte les chemins à k succès, et p^k (1-p)^{n-k} est la probabilité de chacun.

Formules à connaître

  • P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.
  • P(X = 0) = (1-p)^n ; P(X = n) = p^n.
  • P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n.
  • P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1) ; P(X > k) = 1 - P(X \leqslant k).
  • P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a-1).

Méthodes type bac

Justifier la loi binomiale. On doit vérifier les quatre conditions : répétition de n épreuves, indépendance, deux issues (succès/échec), probabilité p constante. Cette justification rapporte souvent des points.

Choisir la bonne fonction de la calculatrice. « Exactement k » utilise la probabilité ponctuelle (souvent \text{binomFdp} ou \text{binompdf}). « Au plus k » utilise la cumulée (\text{binomFRép} ou \text{binomcdf}). Pour « au moins » et « plus de », on passe au complémentaire avec attention au décalage k-1.

Pièges fréquents

  • Vérifier l'indépendance : un tirage sans remise ne donne pas une loi binomiale.
  • Décalage d'indice : P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1), pas 1 - P(X \leqslant k).
  • Bien grouper les exposants : écrire \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}, pas \dfrac{1}{2}^n.

Pour l'épreuve

La loi binomiale est le cœur du programme de probabilités. Sache énoncer ses conditions, écrire la formule, et exploiter la calculatrice pour les probabilités cumulées. Rédige toujours la formule ou la traduction (par exemple P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)) avant de donner la valeur numérique : c'est l'étape notée. Les espérance, variance et intervalle de fluctuation s'appuient directement sur cette loi. Un exercice type-bac commence presque toujours par une question de justification (« montrer que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres »), suivie de calculs de probabilités ponctuelles et cumulées, puis d'une interprétation. Soigne chaque étape : la justification des conditions, la formule explicite, la valeur arrondie au millième, et la phrase de conclusion en langage courant. C'est cette progression complète, et non le seul résultat numérique, qui est valorisée par le barème.