Loi de Bernoulli

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La loi de Bernoulli de paramètre p, notée \mathcal{B}(p), est la loi d'une variable aléatoire X qui prend la valeur 1 (succès) avec probabilité p et la valeur 0 (échec) avec probabilité 1 - p. C'est la traduction numérique d'une épreuve de Bernoulli.

C'est la loi discrète la plus simple : deux valeurs seulement, 0 et 1.

Formules à connaître

  • Loi : P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p.
  • Espérance : E(X) = p.
  • Variance : V(X) = p(1-p).
  • Écart-type : \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}.

Démonstration rapide de E(X) et V(X). E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p. Pour la variance, E(X^2) = 0^2 \times (1-p) + 1^2 \times p = p, donc V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = p - p^2 = p(1-p).

Méthodes type bac

Reconnaître une loi de Bernoulli. Dès qu'une expérience n'a que deux issues codées 0 et 1, on est en présence d'une loi de Bernoulli. On lit directement p.

Étude de la variance. La variance p(1-p) est une fonction du second degré en p, maximale en p = \dfrac{1}{2} : l'incertitude est maximale quand succès et échec sont équiprobables, et nulle quand p = 0 ou p = 1.

Pièges fréquents

  • Confondre E(X) = p et V(X) = p(1-p) : l'espérance vaut p, pas la variance.
  • \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)} : ne pas oublier la racine carrée pour passer de la variance à l'écart-type.
  • La loi de Bernoulli ne prend que les valeurs 0 et 1 ; toute autre valeur sort du cadre.

Pour l'épreuve

La loi de Bernoulli est élémentaire mais ses formules E(X) = p et V(X) = p(1-p) doivent être instantanées : elles servent ensuite à établir les caractéristiques de la loi binomiale. Sache aussi justifier que la variance est maximale pour p = 0{,}5 : c'est une question classique de raccordement avec l'étude de fonction du second degré. La démonstration de E(X) = p et de V(X) = p(1-p) à partir du tableau de loi est régulièrement demandée : entraîne-toi à la rédiger en deux lignes, en calculant E(X) puis E(X^2) et en appliquant König-Huygens. Enfin, retiens le lien conceptuel : une loi binomiale \mathcal{B}(n\,;p) n'est rien d'autre que la somme de n lois de Bernoulli indépendantes de même paramètre p, ce qui explique pourquoi son espérance vaut np et sa variance np(1-p).