Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
La loi exponentielle modélise une durée de vie « sans vieillissement » : durée avant une panne, avant une désintégration radioactive, avant le prochain appel à un standard. C'est la première loi à densité sur un intervalle non borné [0\,;+\infty[.
Définition. Pour un paramètre \lambda>0, X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda si sa densité est : f(t)=\lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\quad\text{pour }t\geq 0\quad(\text{et }0\text{ pour }t<0). C'est bien une densité : f\geq 0 et \displaystyle\int_0^{+\infty}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=\lim_{T\to+\infty}\big[-\mathrm{e}^{-\lambda t}\big]_0^T=1.
Théorème (absence de mémoire). Pour tous s,t\geq 0 : P_{X>s}(X>s+t)=P(X>t). C'est la propriété caractéristique de la loi exponentielle.
Calculer une probabilité : on utilise directement P(X\leq t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t} ou son complémentaire P(X>t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}, sans refaire l'intégrale.
Trouver \lambda : à partir de l'espérance (\lambda=\dfrac{1}{E(X)}) ou d'une probabilité (\mathrm{e}^{-\lambda t_0}=1-p, puis logarithme).
Absence de mémoire : pour P_{X>s}(X>s+t), on calcule \dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda(s+t)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=P(X>t). On en déduit que la durée déjà écoulée n'influence pas la loi du temps restant.
Calculer une probabilité sur un intervalle : P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=\mathrm{e}^{-\lambda a}-\mathrm{e}^{-\lambda b}, en soustrayant les deux fonctions de répartition.
Garder les valeurs exactes : laisser \mathrm{e}^{-1}, \ln 2, etc. avant l'approximation à la calculatrice. Pour le passage au logarithme, se souvenir que \ln(\mathrm{e}^{u})=u et \ln(0{,}5)=-\ln 2.
La loi exponentielle est centrale en maths complémentaires car elle relie l'exponentielle, le logarithme et les probabilités. Les deux résultats à utiliser sans hésiter sont P(X\leq t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t} et E(X)=\dfrac1\lambda. L'absence de mémoire est régulièrement testée : un objet « sans vieillissement » a, à chaque instant, la même probabilité de tomber en panne, indépendamment de son âge ; c'est ce qui distingue cette loi des modèles d'usure progressive. Pensez à conserver les valeurs exactes (\mathrm{e}^{-1}, \ln 2) tout au long du calcul et à arrondir seulement à la fin. Les problèmes concrets (durée de vie d'un composant, désintégration radioactive, temps entre deux appels) demandent souvent de déterminer \lambda à partir d'une donnée : maîtriser le passage par le logarithme népérien est alors décisif. Enfin, soignez l'interprétation des résultats : une probabilité reste dans [0\,;1], l'espérance s'exprime dans l'unité de temps de X, et la dissymétrie de la loi (la majorité de la masse est concentrée près de 0) explique pourquoi la probabilité de dépasser la moyenne vaut \mathrm{e}^{-1} et non 0{,}5. Cette lecture qualitative, attendue par les correcteurs, montre que vous comprenez le modèle au-delà du calcul.