Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
La loi géométrique de paramètre p (0 < p \leqslant 1) est la loi du rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p. La variable X prend ses valeurs dans \{1\,;2\,;3\,;\dots\} (infini dénombrable).
Pour obtenir le premier succès au rang k, il faut k - 1 échecs suivis d'un succès, d'où : P(X = k) = (1-p)^{k-1}\, p.
La loi géométrique possède la propriété d'absence de mémoire : sachant qu'aucun succès n'a eu lieu lors des n premières épreuves, la loi du temps d'attente restant est la même qu'au départ.
Calculer P(X \leqslant k). Plutôt que de sommer, on utilise P(X \leqslant k) = 1 - (1-p)^{k} (probabilité du complémentaire « les k premières épreuves échouent »). De même P(X > k) = (1-p)^{k}.
Espérance comme temps d'attente. E(X) = \dfrac{1}{p} s'interprète : si la probabilité de succès est p, il faut en moyenne \dfrac{1}{p} essais pour réussir. Pour le dé (p = \frac{1}{6}), E(X) = 6.
La loi géométrique modélise les temps d'attente du premier succès. Retiens la loi P(X = k) = (1-p)^{k-1}p, les formules P(X \leqslant k) = 1 - (1-p)^k et P(X > k) = (1-p)^k, ainsi que E(X) = \dfrac{1}{p} et V(X) = \dfrac{1-p}{p^2}. La propriété d'absence de mémoire est une question de cours classique. Les calculs de puissances se font sans difficulté à la calculatrice. Un piège récurrent est l'événement « plus de k essais » : il correspond à X > k, c'est-à-dire à k échecs consécutifs, donc à (1-p)^k ; ne le confonds pas avec X \geqslant k. Pour une recherche de seuil (« combien d'essais pour avoir au moins 90\,\% de chances de réussir ? »), on résout 1 - (1-p)^k \geqslant 0{,}9, soit (1-p)^k \leqslant 0{,}1, en passant par le logarithme népérien (attention au changement de sens de l'inégalité car \ln(1-p) < 0). Cette articulation avec la fonction logarithme est typiquement valorisée en maths complémentaires.