Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
La loi uniforme sur [0\,;1] modélise le tirage « au hasard » d'un réel entre 0 et 1, sans qu'aucune valeur ne soit privilégiée.
Définition. X suit la loi uniforme sur [0\,;1] si sa densité est : f(x)=1\quad\text{pour }x\in[0\,;1]\quad(\text{et }0\text{ ailleurs}). C'est bien une densité : f\geq 0, f continue par morceaux, et \displaystyle\int_0^1 1\,\mathrm{d}x=1.
Propriété fondamentale. Pour 0\leq\alpha\leq\beta\leq 1 : P(\alpha\leq X\leq\beta)=\int_\alpha^\beta 1\,\mathrm{d}x=\beta-\alpha. La probabilité d'un intervalle égale sa longueur.
Calculer une probabilité : on identifie l'intervalle et on prend sa longueur. Aucune intégrale compliquée n'est nécessaire pour la loi uniforme sur [0\,;1].
Probabilité d'un événement défini par une condition : si l'on demande P(X^2\leq a), on résout d'abord l'inéquation sur [0\,;1] (où x\geq 0, donc x^2\leq a\iff x\leq\sqrt a), puis on prend la longueur. Par exemple, P(X^2\leq 0{,}25)=P(X\leq 0{,}5)=0{,}5.
Probabilité conditionnelle : P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}, chaque probabilité étant une longueur d'intervalle. On veille à bien décrire l'intersection A\cap B comme un sous-intervalle de [0\,;1] avant d'en prendre la longueur.
Indépendance : deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A\cap B)=P(A)\times P(B). On calcule les trois probabilités (chacune comme une longueur), puis on compare le produit P(A)\times P(B) avec P(A\cap B) : s'ils diffèrent, les événements ne sont pas indépendants.
Calculer E(X) et V(X) par intégration : même si les résultats \dfrac12 et \dfrac{1}{12} sont à connaître, le sujet peut demander de les retrouver par E(X)=\int_0^1 x\,\mathrm{d}x et V(X)=\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x-\big(E(X)\big)^2. Savoir mener les deux calculs.
La loi uniforme sur [0\,;1] est le cas d'école des lois à densité : la densité constante f=1 rend tous les calculs immédiats puisque la probabilité d'un intervalle se lit comme sa longueur. C'est l'occasion de réviser les notions de probabilité conditionnelle et d'indépendance dans un cadre continu, qui tombent régulièrement. Retenir les valeurs E(X)=\dfrac12 et V(X)=\dfrac{1}{12} par cœur fait gagner du temps, mais il faut aussi savoir les retrouver par intégration si le sujet l'exige. Bien distinguer cette loi de la loi uniforme discrète : ici, l'univers est un intervalle continu, et toute valeur isolée a une probabilité nulle. Quand un énoncé dit « on choisit un réel au hasard » dans [0\,;1], c'est presque toujours la loi uniforme qui est sous-entendue. Cette loi sert aussi de brique de base à la simulation informatique : la fonction « nombre aléatoire » d'une calculatrice ou d'un langage de programmation renvoie justement une valeur suivant la loi uniforme sur [0\,;1], à partir de laquelle on construit toutes les autres lois. Maîtriser ce modèle simple est donc le point de départ indispensable avant d'aborder la loi uniforme sur [a\,;b] et la loi exponentielle.