Loi uniforme

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une variable aléatoire discrète X suit la loi uniforme sur un ensemble fini de valeurs \{x_1\,;x_2\,;\dots\,;x_n\} lorsque toutes les valeurs sont équiprobables : P(X = x_i) = \dfrac{1}{n} \quad \text{pour tout } i \in \{1\,;\dots\,;n\}. Le modèle de référence est le lancer d'un dé équilibré ou le tirage au hasard d'un objet parmi n objets identiques.

Dans le cas particulier où X prend les valeurs entières \{1\,;2\,;\dots\,;n\}, on dispose de formules closes pour les caractéristiques.

Formules à connaître

  • Probabilité ponctuelle : P(X = x_i) = \dfrac{1}{n}.
  • Probabilité d'un événement A (équiprobabilité) : P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{n}.
  • Espérance (sur \{1\,;\dots\,;n\}) : E(X) = \dfrac{n+1}{2}.
  • Variance (sur \{1\,;\dots\,;n\}) : V(X) = \dfrac{n^2 - 1}{12}.
  • König-Huygens : V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2.
  • Transformations affines : E(aX + b) = a\,E(X) + b et V(aX + b) = a^2\,V(X).

Méthodes type bac

Calculer une espérance et une variance « à la main ». Pour une loi uniforme sur quelques valeurs, on dresse le tableau de loi, on calcule E(X) = \sum x_i \times \dfrac{1}{n}, puis on utilise König-Huygens : on calcule d'abord E(X^2) = \sum x_i^2 \times \dfrac{1}{n} et on retranche \big(E(X)\big)^2.

Gain d'un jeu. Un gain s'écrit souvent comme une fonction affine G = aX + b. On applique alors directement E(G) = aE(X) + b et V(G) = a^2 V(X) sans refaire tout le tableau. Un jeu est équitable si E(G) = 0, favorable au joueur si E(G) > 0.

Pièges fréquents

  • La formule E(X) = \dfrac{n+1}{2} ne vaut que pour la loi uniforme sur \{1\,;\dots\,;n\}, pas pour une loi uniforme sur des valeurs quelconques.
  • Dans V(aX + b), le terme b disparaît (la variance est insensible aux translations) et a est mis au carré : ne pas écrire aV(X).
  • Bien distinguer E(X^2) (moyenne des carrés) de \big(E(X)\big)^2 (carré de la moyenne) : ces deux quantités sont différentes.

Pour l'épreuve

La loi uniforme est le point d'entrée des probabilités discrètes. Maîtrise le tableau de loi, le calcul de E(X) et V(X), et surtout les propriétés de linéarité, qui reviennent dans tous les exercices de jeux et de gains. Rédige systématiquement la formule employée avant le calcul numérique : c'est ce qui rapporte les points. La calculatrice ne fait pas le raisonnement à ta place ici, mais elle sécurise les calculs de sommes. Pense aussi à vérifier la cohérence de tes résultats : une variance est toujours positive, et l'espérance d'une loi uniforme sur des valeurs symétriques tombe au centre de l'intervalle. Enfin, n'oublie pas que toute la suite du programme (Bernoulli, binomiale, géométrique) repose sur la même mécanique de calcul d'espérance et de variance vue ici : un automatisme acquis maintenant fera gagner du temps sur les chapitres suivants.