Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
La loi uniforme sur [a\,;b] généralise celle sur [0\,;1] : on choisit un réel « au hasard » dans un intervalle quelconque, toutes les zones de même longueur ayant la même probabilité.
Définition. X suit la loi uniforme sur [a\,;b] (avec a<b) si sa densité est : f(x)=\dfrac{1}{b-a}\quad\text{pour }x\in[a\,;b]\quad(\text{et }0\text{ ailleurs}). C'est une densité : f\geq 0 et \displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{b-a}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{b-a}\times(b-a)=1.
Écrire la densité : repérer a et b, écrire f(x)=\dfrac{1}{b-a}. Par exemple sur [2\,;6], f=\dfrac14.
Calculer une probabilité : appliquer P(\alpha\leq X\leq\beta)=\dfrac{\beta-\alpha}{b-a}. On peut aussi raisonner par complémentaire pour P(X\geq c).
Retrouver une borne : si on donne E(X) ou une probabilité, on pose l'équation correspondante (\dfrac{a+b}{2}=E, par exemple) et on résout.
Modéliser un temps : « instant réparti au hasard entre a et b » se traduit par X uniforme sur [a\,;b]. On convertit souvent les heures en minutes pour simplifier (par exemple, entre 7\mathrm{h} et 7\mathrm{h}30 devient [0\,;30] en minutes).
Calculer espérance et variance : appliquer directement E(X)=\dfrac{a+b}{2} et V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}, puis \sigma(X)=\sqrt{V(X)}. On peut donner la valeur exacte (avec un radical) ou la valeur approchée à la calculatrice selon ce que demande l'énoncé.
Probabilité conditionnelle : pour P_{X\geq c}(X\leq d), on écrit \dfrac{P(c\leq X\leq d)}{P(X\geq c)}, chaque probabilité étant un quotient de longueurs ; le dénominateur b-a se simplifie souvent.
La loi uniforme sur [a\,;b] est la loi à densité la plus simple après celle sur [0\,;1] : tout se ramène à des proportions de longueurs. Les quatre formules (f, P, E, V) doivent être mémorisées sans hésitation, en particulier la variance avec son carré et son 12. Les exercices de bac la mettent souvent en scène comme modèle d'un temps d'attente ou d'un instant d'arrivée : il faut alors bien poser la variable (souvent en minutes), identifier a et b, puis appliquer mécaniquement. La probabilité conditionnelle dans ce cadre est un grand classique : on calcule deux longueurs relatives et on divise. Une vérification utile : l'espérance doit toujours tomber au milieu de l'intervalle, et toute probabilité doit rester comprise entre 0 et 1. On peut aussi voir cette loi comme le prolongement naturel de la loi uniforme sur [0\,;1] via la transformation affine X=a+(b-a)U, ce qui explique pourquoi l'espérance se translate au milieu de [a\,;b] et la variance se multiplie par (b-a)^2. Garder à l'esprit cette structure aide à ne pas confondre les formules et à retrouver rapidement un résultat oublié en composition.