Lois à densité : définition

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Jusqu'ici, les variables aléatoires étudiées étaient discrètes : elles prenaient un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs, et on calculait des probabilités en sommant des P(X=x_i). Une variable aléatoire à densité (on dit aussi continue) prend ses valeurs dans un intervalle entier de \mathbb{R} : on ne peut plus sommer, on intègre.

Définition. Une fonction f définie sur un intervalle [a\,;b] est une densité de probabilité si : - f est continue sur [a\,;b] (sauf éventuellement en un nombre fini de points) ; - f(x)\geq 0 pour tout x\in[a\,;b] ; - \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=1.

Définition. Une variable aléatoire X suit la loi de densité f sur [a\,;b] si, pour tout sous-intervalle [\alpha\,;\beta]\subset[a\,;b] : P(\alpha\leq X\leq\beta)=\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm{d}x. Géométriquement, une probabilité est une aire sous la courbe de f.

Formules

  • Probabilité d'un intervalle : P(\alpha\leq X\leq\beta)=\displaystyle\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm{d}x.
  • Probabilité totale : \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=1.
  • Valeur isolée : P(X=c)=0, d'où P(X\leq c)=P(X<c).
  • Complémentaire : P(X>c)=1-P(X\leq c).
  • Fonction de répartition : F(x)=P(X\leq x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t, avec F'(x)=f(x).

Méthodes type bac

Vérifier qu'une fonction est une densité : trois étapes, dans l'ordre. Continuité, signe positif, puis calcul de l'intégrale sur tout l'intervalle qui doit valoir 1.

Déterminer une constante : si f(x)=k\,g(x), on écrit \int_a^b k\,g(x)\,\mathrm{d}x=1 et on isole k. On vérifie ensuite que k>0 pour que f\geq 0.

Calculer une probabilité : on traduit l'événement en intervalle, on intègre f. Pour P(X>c), on préfère souvent passer par le complémentaire 1-P(X\leq c) si l'intégrale est plus simple.

Probabilité conditionnelle : on applique P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} en calculant chaque probabilité par une intégrale. Penser que si B\subset A, alors A\cap B=B.

Pièges

  • Oublier l'une des trois conditions (la positivité est souvent négligée).
  • Croire que f(x) est une probabilité : non, f(x) peut dépasser 1 ; seule l'aire est une probabilité.
  • Confondre P(X\leq c) et f(c) : la valeur de la densité en un point n'est pas une probabilité.
  • Hésiter entre bornes strictes et larges : inutile, P(X=c)=0 les rend égales.

Pour l'épreuve

Les lois à densité constituent le pont entre le calcul intégral et les probabilités : chaque probabilité est une aire, donc une intégrale, et réciproquement la condition de normalisation \int_a^b f=1 relie les deux mondes. À l'écrit, on attend une rédaction soignée : annoncer « f est continue et positive sur [a\,;b], et \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=1, donc f est une densité ». Soigner les primitives et les valeurs aux bornes : une erreur de calcul d'intégrale fait perdre toute la question. Garder en tête que pour une loi continue, les inégalités strictes et larges ne changent rien, ce qui simplifie souvent l'écriture des événements complémentaires.