Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Les théorèmes d'opérations pour les fonctions sont analogues à ceux des suites. Soit f et g de limites \ell et \ell' en un point a (ou \pm\infty).
Somme : \lim(f+g)=\ell+\ell', sauf forme (+\infty)+(-\infty).
Produit : \lim(fg)=\ell\ell' (règle des signes pour l'infini), sauf forme 0\times\infty.
Quotient : \lim\dfrac{f}{g}=\dfrac{\ell}{\ell'} si \ell'\neq 0, sauf formes \dfrac00 et \dfrac{\infty}{\infty}.
Ces règles s'appliquent aussi bien à une limite en un point fini a qu'à une limite en \pm\infty. Tant qu'aucune forme indéterminée n'apparaît, le calcul est mécanique : on combine les limites des morceaux. Dès qu'une forme interdite surgit, la limite n'est plus déterminée par les seules limites des morceaux, et il faut transformer l'expression. C'est précisément le cœur de toute étude de fonction : déterminer le comportement aux bornes du domaine de définition.
Formules
Les quatre formes indéterminées : (+\infty)-(+\infty), \ 0\times\infty, \ \dfrac{\infty}{\infty}, \ \dfrac00.
Règle de l'inverse : \dfrac{1}{0^+}=+\infty, \dfrac{1}{0^-}=-\infty, \dfrac{1}{\pm\infty}=0.
Méthodes type bac
Polynôme ou fonction rationnelle à l'infini : factoriser par le terme de plus haut degré, simplifier, puis appliquer \dfrac{1}{x^k}\to 0. Pour \dfrac{4x^2-1}{2x^2+x}, la limite est \dfrac{4}{2}=2.
Forme \dfrac00 en un point : factoriser numérateur et dénominateur par (x-a) et simplifier. Pour \dfrac{x^2-3x+2}{x-1}, on factorise x^2-3x+2=(x-1)(x-2), d'où f(x)=x-2 et \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-1.
Différence de racines (\infty-\infty) : multiplier par la quantité conjuguée. Pour \sqrt{x^2+x}-x, on obtient une limite finie \dfrac{1}{2}.
Forme (+\infty)-(+\infty) pour un polynôme : factoriser par la plus haute puissance pour faire apparaître un terme dominant.
Pièges
Une forme indéterminée n'est jamais « égale à 1 » ou « égale à 0 » : il faut la lever par un calcul approprié.
\dfrac00 peut donner une limite finie (après simplification), pas forcément 0 ni \infty : tout dépend du facteur restant.
Le signe du 0 au dénominateur (issu du signe de g) détermine +\infty ou -\infty : ne pas l'oublier.
Le produit 0\times\infty est indéterminé : transformer en quotient pour le lever.
Pour l'épreuve
Annonce toujours la forme indéterminée avant de la lever : « on est en présence d'une forme \dfrac00 ». Les trois techniques attendues au programme sont la factorisation par le terme dominant (à l'infini), la factorisation par (x-a) (forme \dfrac00 en un point fini) et la quantité conjuguée (différence de racines). Conclure en citant le théorème d'opérations utilisé. Ces méthodes sont le socle de toutes les études de fonctions en terminale : sans elles, impossible de déterminer les asymptotes ni le comportement aux bornes du domaine. Soigner chaque étape de calcul, car les correcteurs valorisent la rigueur de la levée d'indétermination autant que le résultat final.