Point d'inflexion

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Un point d'inflexion de la courbe de f est un point en lequel f change de convexité : la courbe passe de concave à convexe (ou inversement). En ce point, la courbe traverse sa tangente.

Caractérisation analytique (pour f deux fois dérivable) :

> La courbe de f admet un point d'inflexion d'abscisse a si et seulement si f'' s'annule en changeant de signe en a.

Formules

  • Tangente au point d'inflexion I(a\,;f(a)) : y=f'(a)(x-a)+f(a).
  • Condition : f''(a)=0 et f'' change de signe en a.

Méthodes type bac

1. Calculer f''(x) et le factoriser. 2. Résoudre f''(x)=0. 3. Vérifier (tableau de signe de f'') que f'' change de signe à chaque racine. 4. Calculer l'ordonnée f(a) pour donner les coordonnées du point d'inflexion. 5. Éventuellement, écrire la tangente et montrer que f(x)-y_T change de signe (la courbe traverse la tangente).

Pièges

  • f''(a)=0 ne suffit jamais : sans changement de signe, pas d'inflexion (ex. x\mapsto x^4 en 0).
  • Ne pas confondre point d'inflexion (lié à f'') et extremum (lié à f').
  • Bien donner les coordonnées complètes (a\,;f(a)), pas seulement l'abscisse.

Pour l'épreuve

Le point d'inflexion conclut souvent l'étude de convexité. Question fréquente : « justifier que I est un point d'inflexion » \Rightarrow montrer que f'' change de signe en a. Un exercice astucieux fait apparaître une identité remarquable du type f(x)-y_T=(x-a)^3, dont le changement de signe en a prouve la traversée de la tangente. En contexte logistique, le point d'inflexion correspond au pic de vitesse de croissance.