Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si :
F est dérivable sur I,
F'(x)=f(x) pour tout x\in I.
Théorème d'existence (admis) : toute fonction continue sur un intervalle I y admet des primitives.
Structure de l'ensemble des primitives : si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sont les fonctions x\mapsto F(x)+C avec C\in\mathbb{R}. Deux primitives diffèrent donc d'une constante.
Unicité conditionnelle : pour tout x_0\in I et tout réel y_0, il existe une unique primitive F telle que F(x_0)=y_0.
Formules
F'=f caractérise une primitive.
Famille des primitives : F(x)+C.
Détermination de C : condition initiale F(x_0)=y_0.
Méthodes type bac
Vérifier une primitive : dériver F et comparer à f.
Trouver toutes les primitives : trouver une primitive « évidente », ajouter +C.
Imposer une condition : écrire F(x)=(\dots)+C, résoudre F(x_0)=y_0 en C.
Justifier l'existence : vérifier la continuité de f sur l'intervalle.
Pièges
La phrase « à une constante près » n'est valable que sur un intervalle : sur une réunion d'intervalles, la constante peut différer d'un morceau à l'autre.
Ne pas oublier le +C quand on cherche toutes les primitives.
Une primitive n'est pas « la » fonction de départ : c'est une fonction dont la dérivée redonne f.
Pour l'épreuve
La définition F'=f est le réflexe de base : pour vérifier ou contrôler un calcul de primitive, on dérive. Les questions demandent souvent de déterminer la primitive vérifiant une condition initiale : pose +C, utilise la condition, conclus. Pense à justifier l'existence par la continuité quand l'énoncé le demande.