Primitives des fonctions composées

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Les primitives de fonctions composées s'obtiennent en « inversant » la dérivation composée. On reconnaît un facteur u' devant une fonction de u.

Modèles fondamentaux (pour u dérivable, et u>0 là où c'est nécessaire) :

  • u'\,u^n (n\neq -1) admet pour primitive \dfrac{u^{n+1}}{n+1} ;
  • \dfrac{u'}{u} admet pour primitive \ln|u| ;
  • u'\,\mathrm{e}^{u} admet pour primitive \mathrm{e}^{u} ;
  • \dfrac{u'}{\sqrt{u}} admet pour primitive 2\sqrt{u} ;
  • u'\cos(u) et u'\sin(u) admettent pour primitives \sin(u) et -\cos(u).

Formules

  • \displaystyle \int u'\,u^n = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} (avec n\neq -1).
  • \dfrac{u'}{u}\to\ln|u|.
  • u'\mathrm{e}^{u}\to\mathrm{e}^{u}.
  • \dfrac{u'}{\sqrt{u}}\to 2\sqrt{u} et \dfrac{u'}{u^2}\to-\dfrac{1}{u}.

Méthodes type bac

1. Identifier u (la « fonction intérieure ») et calculer u'. 2. Repérer le modèle parmi ceux du tableau. 3. Ajuster la constante : si le numérateur n'est pas exactement u', factoriser la constante manquante. Exemple : x\mathrm{e}^{x^2}=\dfrac{1}{2}\,(2x)\mathrm{e}^{x^2}, primitive \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}. 4. Vérifier en dérivant.

Pièges

  • Bien vérifier que le numérateur est (à une constante près) égal à u' : sans le bon u', le modèle ne s'applique pas.
  • \dfrac{u'}{u}\to\ln|u| : ne pas oublier la valeur absolue quand le signe de u n'est pas garanti.
  • Pour \dfrac{u'}{u^2}, la primitive est -\dfrac{1}{u} (signe moins).
  • Justifier que u>0 quand on écrit \ln(u) ou \sqrt{u} sans valeur absolue (souvent via discriminant négatif).

Pour l'épreuve

Ce chapitre est le cœur du calcul intégral en maths complémentaires. Le réflexe : « je vois un produit/quotient, je cherche u et u' ». L'ajustement par une constante multiplicative (\dfrac{1}{2}, etc.) est la manipulation la plus fréquente. Pour les dénominateurs \dfrac{u'}{u}, justifie le signe de u (discriminant) afin d'écrire \ln(u) proprement. Vérifie toujours en dérivant.