Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Le logarithme népérien transforme les produits en sommes. Pour a>0 et b>0 :
\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).
On en déduit, pour a>0, b>0, n entier (et plus généralement réel) :
\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln\!\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b),\qquad \ln(a^n)=n\ln(a),\qquad \ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a).
Formules
\ln(ab)=\ln a+\ln b.
\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b.
\ln(a^n)=n\ln a.
Changement de base implicite : a^x=k\iff x=\dfrac{\ln k}{\ln a}.
Méthodes type bac
Simplifier une expression : convertir produits/quotients/puissances en sommes et différences de \ln, puis regrouper sous un unique \ln(k).
Résoudre une équation a^x=k : prendre \ln des deux membres ; comme \ln est strictement croissante, l'opération est une équivalence.
Résoudre une inéquation avec puissance : attention au signe de \ln a. Si a>1, \ln a>0 et le sens de l'inégalité est conservé.
Capitalisation / seuil : C_n=C_0\times q^n, résoudre q^n>S par n>\dfrac{\ln(S/C_0)}{\ln q}, puis prendre le plus petit entier.
Pièges
\ln(a+b)\neq \ln a+\ln b : aucune propriété sur la somme.
Toujours vérifier le domaine avant de résoudre une équation logarithmique (arguments strictement positifs).
Dans une inéquation, diviser par \ln q ne change le sens que si \ln q<0 (c.-à-d. 0<q<1).
Pour l'épreuve
Les propriétés algébriques du \ln sont des outils omniprésents : seuils de suites géométriques, demi-vies, intérêts composés. Le réflexe gagnant : transformer une équation à exposant en équation linéaire en prenant le \ln. Justifie toujours que les arguments sont strictement positifs et conclus en revenant aux contraintes du domaine.