Propriétés des intégrales

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit f et g continues sur un intervalle contenant a, b, c.

Relation de Chasles. \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x. Valable quel que soit l'ordre des réels a, b, c.

Linéarité. Pour tous réels \alpha, \beta : \int_a^b \big(\alpha f + \beta g\big) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g.

Positivité. Si a \leqslant b et f \geqslant 0 sur [a\,;b], alors \displaystyle\int_a^b f \geqslant 0.

Comparaison (intégration des inégalités). Si a \leqslant b et f \leqslant g sur [a\,;b], alors \displaystyle\int_a^b f \leqslant \displaystyle\int_a^b g (on applique la positivité à g - f).

Encadrement. Si m \leqslant f \leqslant M sur [a\,;b] (a \leqslant b), alors m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant M(b-a).

Inégalité triangulaire intégrale. Pour a \leqslant b : \left|\displaystyle\int_a^b f\right| \leqslant \displaystyle\int_a^b |f|.

Formules à connaître

  • \displaystyle\int_a^a f = 0, \displaystyle\int_b^a f = -\displaystyle\int_a^b f.
  • \displaystyle\int_a^b k\,\mathrm{d}x = k(b-a).
  • Chasles, linéarité, positivité, comparaison.

Méthodes type bac

1. Découper avec Chasles : pour une fonction définie par morceaux ou pour recoller des intégrales données. 2. Décomposer avec la linéarité : sortir les constantes, séparer une somme avant de calculer. 3. Majorer / minorer : encadrer f par des constantes (ou par une autre fonction), puis intégrer l'inégalité. 4. Signe d'une intégrale : utiliser la positivité quand f \geqslant 0 (vérifier l'ordre des bornes).

Pièges fréquents

  • Appliquer la positivité ou la comparaison sans vérifier a \leqslant b.
  • Croire que l'intégrale d'un produit est le produit des intégrales (FAUX).
  • Oublier que la comparaison conserve les inégalités larges, mais qu'une inégalité stricte ne se conserve pas toujours strictement après intégration.
  • Mélanger l'ordre des bornes en oubliant le signe.

Exemples détaillés

Soit \displaystyle\int_0^2 f = 5 et \displaystyle\int_0^2 g = 3. Par linéarité, \displaystyle\int_0^2 (2f - g) = 2 \times 5 - 3 = 7. On n'a jamais besoin de connaître f et g explicitement.

Pour encadrer \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x sans la calculer : sur [0\,;1], on a 0 \leqslant x^2 \leqslant 1, donc 1 \leqslant 1 + x^2 \leqslant 2, d'où \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{1 + x^2} \leqslant 1. En intégrant sur [0\,;1] (de longueur 1) : \dfrac{1}{2} \leqslant \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant 1. Cette technique d'encadrement est très demandée quand la primitive n'est pas au programme.

Pour l'épreuve

Ces propriétés interviennent dans presque tous les exercices d'intégration : Chasles pour recoller, linéarité pour décomposer, comparaison pour encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer. Énoncez toujours l'hypothèse d'ordre a \leqslant b avant d'utiliser la positivité ou la comparaison. Ce sont des questions « sûres » à ne pas rater.