Propriétés des primitives

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Les primitives sont linéaires. Si F est une primitive de f et G une primitive de g sur I, alors :

  • F+G est une primitive de f+g ;
  • pour tout réel k, kF est une primitive de kf.

Plus généralement, \alpha F+\beta G est une primitive de \alpha f+\beta g. C'est l'outil central pour primitiver une somme.

Attention : il n'existe pas de formule directe donnant la primitive d'un produit ou d'un quotient (contrairement à la dérivation).

Formules

  • Somme : primitive de f+g = F+G.
  • Produit par un scalaire : primitive de kf = kF.
  • Briques de base : \dfrac{1}{x}\to\ln|x|, \mathrm{e}^x\to\mathrm{e}^x, \mathrm{e}^{-x}\to-\mathrm{e}^{-x}, \cos\to\sin, \sin\to-\cos.

Méthodes type bac

1. Décomposer f en somme de termes dont on connaît une primitive. 2. Primitiver chaque terme séparément. 3. Recombiner par linéarité, ajouter une unique constante +C. 4. Fixer C avec la condition initiale s'il y en a une.

Pièges

  • Le signe de la primitive de \sin : c'est -\cos, pas \cos.
  • Une seule constante +C pour toute la somme, pas une par terme.
  • \mathrm{e}^{-x} a pour primitive -\mathrm{e}^{-x} (le facteur -1 vient de u'=-1).
  • Aucune « règle du produit » : ne pas écrire la primitive de fg comme FG.

Pour l'épreuve

La linéarité transforme tout polynôme et toute combinaison de fonctions usuelles en un calcul de primitive immédiat. Les fautes les plus fréquentes portent sur les signes (\sin, \mathrm{e}^{-x}) et sur l'oubli du +C. Vérifie systématiquement en dérivant ta primitive : c'est rapide et cela sécurise les points.