Rappels sur la notion de variable aléatoire

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une variable aléatoire X (discrète) associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel. L'ensemble des valeurs prises est \{x_1\,;x_2\,;\dots\,;x_n\}. La loi de probabilité de X est la donnée des probabilités P(X = x_i).

Pour qu'un tableau définisse une loi de probabilité, deux conditions : chaque P(X = x_i) \geqslant 0 et \displaystyle\sum_i P(X = x_i) = 1.

L'espérance est la moyenne théorique des valeurs pondérées par leurs probabilités. La variance et l'écart-type mesurent la dispersion.

Formules à connaître

  • Espérance : E(X) = \displaystyle\sum_i x_i\, P(X = x_i).
  • Variance : V(X) = \displaystyle\sum_i (x_i - E(X))^2\, P(X = x_i).
  • König-Huygens : V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 où E(X^2) = \displaystyle\sum_i x_i^2\, P(X = x_i).
  • Écart-type : \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.
  • Linéarité : E(aX + b) = a\,E(X) + b et V(aX + b) = a^2\,V(X).

Méthodes type bac

Compléter une loi. Si une probabilité est inconnue, on l'obtient en écrivant que la somme des probabilités vaut 1.

Calculer espérance et variance. On dresse au besoin une ligne x_i^2, on calcule E(X) puis E(X^2), et on applique König-Huygens. C'est plus fiable que la définition avec les écarts à la moyenne.

Gains et jeux. Le gain net est souvent une fonction affine du gain brut : G = X - c où c est la mise. On applique alors la linéarité de l'espérance. Un jeu est équitable si E(G) = 0.

Pièges fréquents

  • Oublier de vérifier que la somme des probabilités vaut 1 avant de calculer.
  • Confondre E(X^2) et \big(E(X)\big)^2 : ce sont deux nombres distincts, et V(X) est leur différence (toujours positive).
  • Dans V(aX+b), le coefficient devient a^2 (jamais a) et la constante b disparaît.

Pour l'épreuve

Ce chapitre rassemble les outils utilisés partout dans les lois discrètes. Sache dresser un tableau de loi, vérifier la condition de somme, et calculer E, V, \sigma rapidement. Les propriétés de linéarité sont incontournables dans les exercices de jeux. Rédige les formules avant les calculs, et n'oublie pas l'unité (souvent l'euro) dans les problèmes de gains. Un réflexe d'autocontrôle : l'espérance doit toujours se situer entre la plus petite et la plus grande valeur prise par X, et la variance doit être positive. Si tu trouves une variance négative, c'est qu'il y a une erreur dans le calcul de E(X^2) ou de \big(E(X)\big)^2. Ces vérifications rapides évitent de perdre des points sur une étourderie de calcul, et elles montrent au correcteur une bonne maîtrise du sens des notions.