Réciproque d'une fonction continue strictement monotone

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Théorème de la bijection (réciproque d'une fonction continue strictement monotone). Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors : - f réalise une bijection de I sur l'intervalle image J = f(I) ; - f admet une fonction réciproque f^{-1} définie sur J, à valeurs dans I ; - f^{-1} est continue, et a le même sens de variation que f.

Caractérisation graphique. Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de f et de f^{-1} sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Relations fondamentales. Pour tout x \in I et tout y \in J : f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y.

Image d'un intervalle. Si f est continue strictement croissante sur [a\,;b], alors f([a\,;b]) = [f(a)\,;f(b)]. Pour des bornes infinies ou ouvertes, on utilise les limites.

Dérivée de la réciproque. Si f est dérivable et f'(f^{-1}(y)) \neq 0, alors (f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'\!\left(f^{-1}(y)\right)}.

Formules à connaître

  • f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b.
  • Exemples : \exp et \ln ; x \mapsto x^2 sur [0\,;+\infty[ et \sqrt{\;} ; \sin sur \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right] et \arcsin.
  • (f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}.

Méthodes type bac

1. Justifier l'existence de f^{-1} : continuité + stricte monotonie sur I, puis « f réalise une bijection de I sur f(I) ». 2. Déterminer f^{-1} : résoudre y = f(x) pour exprimer x en fonction de y. 3. Domaine et variations de f^{-1} : domaine = f(I) (calculer avec valeurs ou limites aux bornes), sens de variation identique à f. 4. Valeur ponctuelle : utiliser f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b.

Pièges fréquents

  • Penser que f^{-1} change de sens de variation : c'est faux, elle garde le même.
  • Confondre f^{-1} (réciproque) et \dfrac{1}{f} (inverse).
  • Oublier de restreindre le domaine pour rendre f strictement monotone (ex : x^2 sur \mathbb{R} n'est pas bijective, mais l'est sur [0\,;+\infty[).
  • Échanger les rôles de f(I) et I pour le domaine de f^{-1}.

Exemple détaillé

Soit f(x) = x^2 + 1 sur [0\,;+\infty[. La fonction est continue, f'(x) = 2x \geqslant 0, strictement croissante sur [0\,;+\infty[. Elle réalise donc une bijection de [0\,;+\infty[ sur f([0\,;+\infty[) = [1\,;+\infty[ (car f(0) = 1 et \lim\limits_{+\infty} f = +\infty). Pour expliciter f^{-1} : on résout y = x^2 + 1 avec x \geqslant 0, soit x^2 = y - 1, donc x = \sqrt{y - 1}. Ainsi f^{-1}(y) = \sqrt{y - 1}, définie sur [1\,;+\infty[, strictement croissante comme f. Vérification : f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(5) = \sqrt{4} = 2.

Pour l'épreuve

Ce chapitre formalise ce que vous utilisez déjà avec \exp et \ln. Sachez justifier l'existence d'une réciproque (continuité et stricte monotonie), déterminer son domaine via f(I), et lire f^{-1}(b) = a. La symétrie par rapport à y = x est une question graphique fréquente. La calculatrice permet de tracer f et de visualiser la symétrie.