Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Représenter graphiquement une suite, c'est traduire visuellement son comportement. Deux situations selon le mode de génération.
Suite explicite u_n=f(n) : on place les points M_n de coordonnées (n\,;u_n). L'abscisse est le rang n (toujours entier), l'ordonnée le terme. On obtient un nuage de points isolés, jamais une courbe continue.
Suite récurrente u_{n+1}=f(u_n) : on trace dans un même repère la courbe \mathcal{C}_f de f et la droite y=x (première bissectrice). On lit les termes par une construction « en escalier » ou « en toile d'araignée ».
Formules
Points de la représentation explicite : M_n(n\,;u_n).
Construction récurrente : partir de u_n sur l'axe des abscisses, monter verticalement jusqu'à \mathcal{C}_f pour obtenir u_{n+1}=f(u_n) en ordonnée, reporter horizontalement jusqu'à y=x pour ramener u_{n+1} sur l'axe des abscisses, recommencer.
Point fixe (limite candidate) : solution de f(\ell)=\ell, intersection de \mathcal{C}_f et de y=x.
Méthodes type bac
Construire une toile d'araignée : tracer \mathcal{C}_f et y=x, partir de u_0 sur l'axe des abscisses, alterner un trait vertical (vers la courbe, qui donne u_{n+1} en ordonnée) et un trait horizontal (vers la droite y=x, qui ramène u_{n+1} sur l'axe des abscisses), puis recommencer. On obtient une suite de marches ou une spirale.
Conjecturer la limite : repérer le point fixe (intersection de \mathcal{C}_f et de y=x) vers lequel l'escalier converge ; sa résolution f(\ell)=\ell donne la valeur exacte de la limite candidate.
Conjecturer la monotonie : observer si les points montent quand n augmente (suite croissante) ou descendent (suite décroissante), et si l'escalier reste borné.
Conjecturer une majoration ou une minoration : repérer une droite horizontale que les points ne franchissent jamais ; on la démontrera ensuite par récurrence.
Pièges
Les points d'une suite ne sont jamais reliés par une courbe continue : n est un entier, la représentation est un nuage de points isolés.
Les points M_n(n\,;u_n) sont alignés seulement si la suite est arithmétique ; une suite géométrique donne des points situés sur une exponentielle, jamais alignés.
Une lecture graphique n'est qu'une conjecture : elle ne remplace jamais une démonstration par récurrence ou par calcul exact.
Ne pas confondre la représentation d'une suite explicite (points M_n(n\,;u_n)) et celle d'une suite récurrente (toile d'araignée avec \mathcal{C}_f et y=x) : ce sont deux constructions distinctes.
Pour l'épreuve
La construction « en escalier » est un classique : on attend que les traits verticaux aillent vers la courbe et les traits horizontaux vers y=x. Toujours conclure une lecture graphique par une formule prudente : « on conjecture que la suite converge vers… ». La résolution f(\ell)=\ell donne la limite exacte une fois la convergence établie par un autre argument (suite monotone et bornée, par exemple). Lorsque la suite est explicite, l'allure du nuage de points suffit à conjecturer la limite et le sens de variation, mais une justification analytique reste indispensable pour valider.