Schéma de Bernoulli

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques, de probabilité de succès p, de manière indépendante. C'est le passage de l'épreuve unique à la répétition.

On le représente par un arbre à n niveaux : à chaque nœud, deux branches (succès de probabilité p, échec de probabilité 1-p). Une feuille de l'arbre est une suite précise de succès et d'échecs.

Le nombre de succès X obtenu dans un schéma de Bernoulli suit la loi binomiale \mathcal{B}(n\,;p) : c'est le lien fondamental de ce chapitre.

Formules à connaître

  • Probabilité d'un chemin à k succès : p^k (1-p)^{n-k}.
  • Nombre de chemins à k succès : \dbinom{n}{k}.
  • Probabilité d'exactement k succès : P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.
  • P(X = 0) = (1-p)^n et P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n.

Méthodes type bac

Tracer l'arbre pour les petits n. Pour n = 2 ou n = 3, on peut lister tous les chemins. On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui réalisent le même nombre de succès.

Compter les chemins. Tous les chemins à k succès ont la même probabilité p^k (1-p)^{n-k} ; il suffit donc de compter combien il y en a, ce qui donne \dbinom{n}{k}, puis de multiplier. C'est exactement la formule de la loi binomiale.

Pièges fréquents

  • Indépendance indispensable : sans elle, on ne peut pas multiplier les probabilités le long d'un chemin (le tirage sans remise n'est pas un schéma de Bernoulli).
  • « Exactement k succès » regroupe plusieurs chemins : ne pas oublier le facteur \dbinom{n}{k}.
  • Les conditions doivent être identiques à chaque répétition : même p à chaque épreuve.

Pour l'épreuve

Le schéma de Bernoulli est le pont entre l'arbre et la loi binomiale. Comprendre que tous les chemins à k succès ont la même probabilité p^k(1-p)^{n-k}, et qu'il y en a \dbinom{n}{k}, c'est comprendre d'où vient la formule binomiale. Pour les petits effectifs, sache encore raisonner par arbre : c'est souvent demandé en début d'exercice avant de généraliser. Une question fréquente consiste à justifier qu'une situation « relève d'un schéma de Bernoulli » : il faut alors vérifier point par point les conditions (répétition d'une même épreuve, indépendance, deux issues, probabilité constante), puis nommer la variable X qui compte les succès et conclure qu'elle suit la loi binomiale. Cette justification, courte mais rigoureuse, vaut presque toujours des points et conditionne la validité de tout ce qui suit dans l'exercice.