Succession d'épreuves indépendantes

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une succession d'épreuves indépendantes est l'expérience consistant à répéter, dans les mêmes conditions, plusieurs épreuves dont les résultats n'ont aucune influence les uns sur les autres. Le modèle type est le lancer répété d'une pièce ou d'un dé, ou un tirage avec remise dans une urne.

On représente une succession d'épreuves par un arbre pondéré. Chaque branche porte une probabilité ; un chemin complet (de la racine à une feuille) représente une issue de l'expérience.

Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Formules à connaître

  • Probabilité d'un chemin : produit des probabilités des branches.
  • Probabilité d'un événement : somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
  • Pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p : la probabilité d'une suite imposée de k succès et n-k échecs est p^k (1-p)^{n-k}.
  • Événement contraire : P(\text{au moins un succès}) = 1 - P(\text{aucun succès}) = 1 - (1-p)^n.

Méthodes type bac

Lire un arbre. On multiplie le long d'un chemin (règle du produit), on additionne entre les chemins d'un même événement (règle de la somme). La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.

Passer par le contraire. Dès qu'apparaît « au moins un », calculer plutôt « aucun » : c'est un produit unique, donc rapide, puis on fait 1 - \text{ce produit}.

Distinguer avec / sans remise. Avec remise, les épreuves sont indépendantes et les probabilités constantes : on peut utiliser des puissances. Sans remise, les probabilités changent d'une étape à l'autre, on ne peut pas factoriser en puissances.

Pièges fréquents

  • Ne pas confondre « exactement la suite S, S, \bar{S} » (un seul chemin) et « exactement 2 succès » (plusieurs chemins) : le second demande de compter les arrangements.
  • « Au moins un » \neq « exactement un » : le premier passe par le contraire « aucun », le second additionne des chemins précis.
  • Vérifier que les épreuves sont bien indépendantes avant de multiplier : un tirage sans remise ne l'est pas.

Pour l'épreuve

L'arbre pondéré est l'outil central : trace-le proprement, indique toutes les probabilités, et applique mécaniquement produit (le long d'un chemin) et somme (entre chemins). La technique du passage au contraire fait gagner un temps précieux sur les questions « au moins un ». Une vérification utile : la somme des probabilités de toutes les feuilles d'un arbre complet doit valoir exactement 1. Sache aussi distinguer une succession d'épreuves indépendantes (tirage avec remise, lancers répétés) d'une situation avec probabilités conditionnelles (tirage sans remise), où l'on doit utiliser la formule des probabilités totales plutôt que de simples produits. Cette notion est le socle direct du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale qui suivent : maîtriser les arbres ici, c'est comprendre d'avance d'où vient la formule binomiale.