Suites arithmético-géométriques

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Une suite arithmético-géométrique est définie par une relation u_{n+1}=a\,u_n+b avec a\neq 1 et b\neq 0. Elle n'est ni arithmétique (a\neq 1) ni géométrique (b\neq 0), mais on la ramène à une suite géométrique grâce à un changement de variable astucieux. C'est l'un des modèles les plus courants en sciences : population avec migration constante, capital avec versements réguliers, concentration d'un médicament avec prise régulière, refroidissement d'un corps. À chaque étape, on multiplie par a (effet proportionnel) puis on ajoute b (effet constant).

Point fixe. On cherche \ell tel que \ell=a\ell+b, ce qui donne \ell=\dfrac{b}{1-a}.

Suite auxiliaire. On pose v_n=u_n-\ell. Alors : v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=a u_n+b-\ell=a u_n+b-(a\ell+b)=a(u_n-\ell)=a v_n. (v_n) est donc géométrique de raison a et de premier terme v_0=u_0-\ell. On connaît alors parfaitement v_n, donc u_n. C'est cette réduction systématique à une suite géométrique qui rend le modèle entièrement calculable, contrairement à une suite récurrente quelconque.

Formules

  • Point fixe : \ell=\dfrac{b}{1-a}.
  • Suite auxiliaire : v_n=(u_0-\ell)\times a^{\,n}.
  • Forme explicite : u_n=\ell+(u_0-\ell)\times a^{\,n}.
  • Limite si -1<a<1 : \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.

Méthodes type bac

1. Trouver le point fixe en résolvant l'équation \ell=a\ell+b, soit \ell=\dfrac{b}{1-a}. 2. Poser v_n=u_n-\ell et démontrer que (v_n) est géométrique de raison a : on calcule v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=a u_n+b-\ell, et comme \ell=a\ell+b on obtient v_{n+1}=a(u_n-\ell)=a v_n. 3. Donner la forme explicite de v_n=(u_0-\ell)a^{\,n} puis revenir à u_n=\ell+(u_0-\ell)a^{\,n}. 4. Conclure sur la limite en étudiant a^n : si -1<a<1, a^n\to 0 et u_n\to\ell.

Pièges

  • La raison de (v_n) est a (le coefficient de u_n), jamais b. Le terme b ne sert qu'à calculer le point fixe \ell.
  • Bien calculer v_0=u_0-\ell, et non u_0 seul : c'est l'erreur la plus fréquente.
  • Au retour à u_n, ne pas oublier d'ajouter \ell : u_n=v_n+\ell, pas u_n=v_n.
  • La méthode ne fonctionne que si a\neq 1 ; si a=1 la suite est arithmétique et se traite directement.

Pour l'épreuve

La structure de l'exercice est presque toujours imposée par l'énoncé : on guide l'élève avec « on pose v_n=u_n-\ell ». Le calcul de v_{n+1}=a v_n doit être rédigé entièrement, sans sauter d'étape, pour valider que (v_n) est bien géométrique : c'est là que se joue l'essentiel des points. Conclure la limite en citant explicitement -1<a<1\Rightarrow a^n\to 0. Dans un contexte concret (population, capital, concentration), interpréter \ell comme l'état d'équilibre vers lequel le système se stabilise. Les suites arithmético-géométriques sont un grand classique du bac : la maîtrise du changement de variable v_n=u_n-\ell est indispensable.