Théorème des valeurs intermédiaires

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Soit f une fonction continue sur un intervalle [a\,;b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un réel c \in [a\,;b] tel que f(c) = k.

Cas particulier (annulation). Si f est continue sur [a\,;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires (c'est-à-dire f(a) \times f(b) < 0), alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a\,;b[.

Extension. Le théorème reste valable sur un intervalle ouvert ou non borné, en remplaçant f(a) et f(b) par les limites de f aux bornes.

Ce que le TVI affirme et n'affirme pas. Il garantit l'existence, pas l'unicité ni le nombre de solutions. Pour ces dernières, on combine TVI et stricte monotonie (voir le corollaire).

Formules à connaître

  • k compris entre f(a) et f(b) : \min(f(a),f(b)) \leqslant k \leqslant \max(f(a),f(b)).
  • Annulation : f(a) \times f(b) < 0 \Rightarrow \exists\, c \in\, ]a\,;b[,\ f(c) = 0.
  • Méthode de balayage / dichotomie pour encadrer c.

Méthodes type bac

1. Existence d'une solution : citer la continuité, calculer f aux bornes, vérifier l'encadrement de k (ou le changement de signe), conclure par le TVI. 2. Encadrement : par essais successifs (calculatrice), réduire l'intervalle jusqu'à l'amplitude voulue. 3. Nombre de solutions : tableau de variations, puis TVI sur chaque branche monotone.

Pièges fréquents

  • Oublier d'invoquer la continuité (hypothèse obligatoire).
  • Conclure à l'unicité avec le seul TVI : il faut la monotonie.
  • Mal lire « k compris entre f(a) et f(b) » quand f(a) > f(b).
  • Vérifier le signe de f(a) et f(b) et non le signe de leur produit.

Exemple détaillé

Soit f(x) = x^3 + x - 3 sur [1\,;2]. La fonction est continue (polynôme). On calcule f(1) = 1 + 1 - 3 = -1 < 0 et f(2) = 8 + 2 - 3 = 7 > 0. Comme 0 est compris entre f(1) et f(2), le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'un réel c \in\, ]1\,;2[ tel que f(c) = 0. On affine ensuite par balayage : f(1{,}2) = 1{,}728 + 1{,}2 - 3 = -0{,}072 < 0 et f(1{,}3) = 2{,}197 + 1{,}3 - 3 = 0{,}497 > 0, donc c \in\, ]1{,}2\,;1{,}3[. On obtient ainsi un encadrement d'amplitude 0{,}1 à la calculatrice.

Pour l'épreuve

Le TVI est un classique du bac, souvent couplé à une étude de fonction. La phrase type à connaître par cœur : « f est continue sur [a\,;b] et f(a) \times f(b) < 0, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x) = 0 admet une solution sur ]a\,;b[. » Soignez le calcul des images aux bornes et donnez l'encadrement demandé à l'aide de la calculatrice.