Théorème du point fixe

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Point fixe. Un réel c est un point fixe de f lorsque f(c) = c. Géométriquement, c'est l'abscisse d'un point d'intersection de la courbe \mathcal{C}_f avec la droite d'équation y = x.

Théorème du point fixe. Si f est continue sur le segment [a\,;b] et si f([a\,;b]) \subset [a\,;b] (la fonction est stable sur [a\,;b]), alors f admet au moins un point fixe c dans [a\,;b] : \exists\, c \in [a\,;b], \quad f(c) = c.

Démonstration (idée). On pose g(x) = f(x) - x, continue sur [a\,;b]. La stabilité donne g(a) = f(a) - a \geqslant 0 et g(b) = f(b) - b \leqslant 0. Par le théorème des valeurs intermédiaires, g s'annule en un point c, qui est un point fixe de f.

Lien avec les suites. Si une suite récurrente u_{n+1} = f(u_n) converge vers \ell et que f est continue en \ell, alors le théorème du transfert donne \ell = f(\ell) : la limite est nécessairement un point fixe.

Formules à connaître

  • Équation des points fixes : f(x) = x.
  • Stabilité : \forall x \in [a\,;b],\ a \leqslant f(x) \leqslant b.
  • Point fixe de f(x) = 1 + \dfrac{1}{x} : \varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.

Méthodes type bac

1. Existence d'un point fixe : soit on vérifie continuité + stabilité (théorème du point fixe), soit on introduit g(x) = f(x) - x et on applique le TVI. 2. Limite d'une suite récurrente : justifier la continuité de f, puis résoudre f(\ell) = \ell et écarter les solutions hors de l'intervalle où vit la suite. 3. Stabilité : étudier les variations de f, calculer les images des bornes, vérifier que l'image de l'intervalle reste dedans.

Pièges fréquents

  • Oublier de vérifier que la limite candidate appartient bien à l'intervalle (écarter les racines parasites).
  • Résoudre f(\ell) = \ell sans avoir justifié la convergence de la suite (souvent admise dans l'énoncé).
  • Confondre point fixe (f(c) = c) et racine (f(c) = 0).

Exemple détaillé

Soit f(x) = \sqrt{x + 6} sur [0\,;3] et la suite u_{n+1} = f(u_n), u_0 = 0. La fonction f est continue et croissante ; f(0) = \sqrt{6} \approx 2{,}45 et f(3) = \sqrt{9} = 3, donc f([0\,;3]) = [\sqrt{6}\,;3] \subset [0\,;3] : f est stable. Le théorème du point fixe assure l'existence d'un point fixe. On le calcule : \sqrt{\ell + 6} = \ell avec \ell \geqslant 0 donne \ell + 6 = \ell^2, soit \ell^2 - \ell - 6 = 0, de racines -2 et 3. Comme \ell \in [0\,;3], le seul point fixe est \ell = 3. Si l'énoncé établit que (u_n) converge, sa limite est nécessairement ce point fixe 3.

Pour l'épreuve

Le théorème du point fixe arrive presque toujours dans un exercice de suites récurrentes. La chaîne attendue est : convergence (admise ou démontrée par monotonie et bornée), puis continuité de f, puis résolution de f(\ell) = \ell. Rédigez l'égalité \ell = f(\ell) en citant explicitement la continuité. La calculatrice valide la valeur approchée du point fixe.