Théorème fondamental des intégrales

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Théorème fondamental du calcul intégral. Soit f une fonction continue sur [a\,;b] et F une primitive de f sur [a\,;b] (c'est-à-dire F' = f). Alors \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b.

Existence de primitives. Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Plus précisément, la fonction F : x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a : elle est dérivable et F'(x) = f(x).

Conséquence. Dériver et intégrer sont des opérations réciproques : \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = f(x), \qquad \int_a^b F'(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

Formules à connaître

  • \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a).
  • \displaystyle\int x^n\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (n \neq -1), \displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln|x|.
  • \displaystyle\int e^{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}, \displaystyle\int e^{ax}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{a}e^{ax}.
  • \displaystyle\int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x, \displaystyle\int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x.

Méthodes type bac

1. Calcul d'intégrale : reconnaître une primitive, écrire le crochet, soustraire F(b) - F(a). 2. Intégrale à borne variable : F(x) = \displaystyle\int_a^x f se dérive en F'(x) = f(x) ; en déduire variations, tangentes, etc. 3. Identifier une fonction : si F' = G' sur I et F, G coïncident en un point, alors F = G (ex : reconstruire \ln).

Pièges fréquents

  • Se tromper de signe dans F(b) - F(a) (toujours haut moins bas).
  • Oublier le facteur \dfrac{1}{a} pour la primitive de e^{ax}.
  • Utiliser \dfrac{x^{n+1}}{n+1} pour n = -1 (interdit : c'est \ln|x|).
  • Confondre la variable d'intégration t et la borne x dans \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t.

Exemples détaillés

Pour calculer \displaystyle\int_0^1 (3x^2 + 2x)\,\mathrm{d}x, on cherche d'abord une primitive : F(x) = x^3 + x^2, car F'(x) = 3x^2 + 2x. On applique ensuite le crochet : \big[x^3 + x^2\big]_0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2.

Pour une intégrale à borne variable, considérons G(x) = \displaystyle\int_2^x \cos(t)\,\mathrm{d}t. Comme \cos est continue, G est dérivable et G'(x) = \cos(x) : on dérive sans même calculer l'intégrale. C'est ainsi que l'on reconstruit toutes les fonctions définies par une intégrale (logarithme, fonction de répartition d'une loi à densité, etc.).

Pour l'épreuve

C'est LE théorème central : il transforme un calcul d'aire en un calcul de primitive. Maîtrisez les primitives usuelles et la notation crochet. La question « F(x) = \int_a^x f, calculer F' » revient souvent : la réponse est f(x) sans calcul d'intégrale. Pensez aussi à l'argument d'identification de deux fonctions ayant même dérivée et coïncidant en un point. La calculatrice donne une valeur approchée de contrôle de l'intégrale finale.