Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Valeur moyenne. Soit f continue sur [a\,;b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a\,;b] est le réel \mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.
Interprétation géométrique. \mu est la hauteur du rectangle de base [a\,;b] qui a la même aire que le domaine situé sous la courbe \mathcal{C}_f (pour f \geqslant 0). On « aplatit » la courbe en un rectangle de même aire.
Théorème de la moyenne. Si f est continue sur [a\,;b], il existe (au moins) un réel c \in [a\,;b] tel que f(c) = \mu, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = (b - a)\,f(c). La fonction atteint donc sa valeur moyenne en au moins un point (conséquence du TVI appliqué à f).
Encadrement. Si m \leqslant f \leqslant M sur [a\,;b], alors m \leqslant \mu \leqslant M.
1. Calcul direct : trouver une primitive F, calculer \displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a), diviser par b - a. 2. Lecture inverse : si on connaît l'intégrale, \mu = \dfrac{\text{intégrale}}{b - a}. 3. Trouver c tel que f(c) = \mu : résoudre l'équation f(c) = \mu sur [a\,;b]. 4. Contexte physique : interpréter \mu comme intensité moyenne, vitesse moyenne, etc.
Calculons la valeur moyenne de f(x) = x^2 sur [0\,;2]. On a \displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac{8}{3}, donc \mu = \dfrac{1}{2 - 0} \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33. Le théorème de la moyenne assure qu'il existe c \in [0\,;2] avec f(c) = \dfrac{4}{3} : on résout c^2 = \dfrac{4}{3}, soit c = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15, qui appartient bien à [0\,;2]. On vérifie que \dfrac{4}{3} est compris entre f(0) = 0 et f(2) = 4 : l'encadrement 0 \leqslant \mu \leqslant 4 est respecté.
La valeur moyenne tombe souvent dans un contexte concret (intensité, température, concentration). La formule \mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f doit être réflexe. Pensez à l'interprétation rectangle pour un contrôle de cohérence : \mu est toujours comprise entre le minimum et le maximum de f. La calculatrice fournit l'intégrale en valeur approchée pour vérifier.