Décrire un mouvement : cinématique du point

Spé. Physique-Chimie · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

L'essentiel

La cinématique décrit le mouvement d'un point sans s'intéresser à ses causes (les forces). Toute description nécessite un référentiel : un solide de référence muni d'une horloge. Le mouvement est relatif : il dépend du référentiel choisi (un objet immobile dans un train est en mouvement par rapport au quai).

Le mouvement d'un point M est décrit par son vecteur position \vec{OM}(t). On en déduit : - le vecteur vitesse \vec{v} = \dfrac{d\vec{OM}}{dt}, toujours tangent à la trajectoire ; - le vecteur accélération \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{OM}}{dt^2}, dirigé vers l'intérieur de la courbe.

Le repère de Frenet (\vec{u}_T, \vec{u}_N), attaché au mobile, est particulièrement utile : \vec{u}_T est tangent (sens du mouvement), \vec{u}_N est normal (vers le centre de courbure). L'accélération s'y écrit \vec{a} = \dfrac{dv}{dt}\vec{u}_T + \dfrac{v^2}{R}\vec{u}_N : la composante tangentielle traduit la variation de valeur de la vitesse, la composante normale le changement de direction. Ce découpage éclaire un point souvent mal compris : un mobile peut avoir une accélération non nulle même si sa vitesse garde une valeur constante, dès lors que sa trajectoire est courbe.

En pratique, on ne dispose pas toujours de l'expression analytique de \vec{OM}(t). On exploite alors une chronophotographie, un enregistrement vidéo ou un tableau de positions relevées à intervalle régulier \tau. La vitesse et l'accélération s'obtiennent par des dérivées approchées (méthode des écarts centrés), qui consistent à remplacer la dérivée instantanée par un taux de variation entre deux instants encadrant la position étudiée. Cette approche numérique est au cœur des exercices expérimentaux du baccalauréat.

Formules et schémas clés

  • Vitesse : \vec{v} = \dfrac{d\vec{OM}}{dt} ; valeur v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
  • Accélération : \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}
  • Frenet : \vec{a} = \dfrac{dv}{dt}\vec{u}_T + \dfrac{v^2}{R}\vec{u}_N
  • Vitesse approchée (chronophoto) : v_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}
  • Accélération approchée : a_i \approx \dfrac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2\tau}

Méthode type bac

1. Préciser le référentiel d'étude. 2. À partir de \vec{OM}(t), dériver pour obtenir \vec{v}, puis \vec{a}. 3. Pour une chronophotographie : mesurer les distances, calculer les vitesses et accélérations approchées. 4. Construire les vecteurs vitesse et accélération à l'échelle. 5. Conclure sur la nature du mouvement (rectiligne/curviligne, uniforme/accéléré).

Pièges

  • Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, pas dirigé vers un centre.
  • En cinématique du point, l'accélération n'est pas toujours dans le sens du mouvement : si le mobile ralentit, \vec{a} s'oppose à \vec{v}.
  • Dans un mouvement circulaire uniforme, v est constante mais \vec{a} \neq \vec{0} (accélération centripète v^2/R).
  • Bien utiliser l'intervalle 2\tau (et non \tau) dans la dérivée centrée.

Pour l'épreuve

L'exploitation d'une chronophotographie ou d'un enregistrement (tableur, vidéo) est un classique : calcul de vitesses et d'accélérations par dérivées approchées, construction de vecteurs, conclusion sur la nature du mouvement. Le correcteur attend la méthode des écarts correcte (dérivée centrée sur 2\tau) et une conclusion argumentée. La maîtrise du repère de Frenet est attendue pour les mouvements circulaires.