Evolution temporelle dans un circuit : charge d'un dipôle RC

Spé. Physique-Chimie · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

L'essentiel

Lorsqu'on ferme l'interrupteur d'un circuit série comportant un générateur de tension continue E, une résistance R et un condensateur C initialement déchargé, le condensateur se charge progressivement.

La loi des mailles donne E = u_R + u_C = Ri + u_C. Comme i = C\dfrac{du_C}{dt}, on obtient l'équation différentielle : \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C = \frac{E}{RC}, \quad \text{soit} \quad \tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E \;\; (\tau = RC).

Sa solution, avec la condition initiale u_C(0) = 0, est : u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right). La tension croît de 0 vers E : c'est une croissance exponentielle saturée. Le courant, lui, est maximal au départ puis décroît : i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}. Au tout début, le condensateur déchargé se comporte comme un fil (i(0) = E/R) ; en régime permanent, u_C = E et i = 0 (le condensateur agit comme un interrupteur ouvert).

La constante de temps \tau = RC règle la rapidité : à t = \tau, le condensateur atteint 63\% de E ; à t = 5\tau, il est chargé à 99\% (régime permanent atteint en pratique). Deux méthodes graphiques donnent \tau : la tangente à l'origine coupe l'asymptote u_C = E à l'abscisse t = \tau ; ou l'abscisse où u_C = 0{,}63\,E.

_Figure : charge du condensateur, lecture graphique de τ par la tangente à l'origine ou par 0,63·E._

Une propriété fondamentale : la tension u_C est continue, elle ne peut pas sauter brutalement (sinon i serait infini).

Formules et schémas clés

  • Équation différentielle : \tau \dfrac{du_C}{dt} + u_C = E.
  • Solution : u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau}), \tau = RC.
  • Courant : i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-t/\tau}, i(0) = \dfrac{E}{R}.
  • Repères : u_C(\tau) \approx 0{,}63\,E ; u_C(5\tau) \approx 0{,}99\,E.

Méthode type bac

1. Établir l'équation différentielle par la loi des mailles et i = C\frac{du_C}{dt}. 2. Vérifier qu'une solution proposée convient : la dériver, la reporter, contrôler la condition initiale. 3. Lire \tau graphiquement (tangente à l'origine ou 0{,}63\,E), puis en déduire C ou R. 4. Évaluer la durée de charge par 5\tau.

Pièges

  • Inverser charge et décharge : ici u_C part de 0 et croît vers E.
  • Oublier que i(0) = E/R n'est pas nul (seul u_C(0) l'est).
  • Confondre 63\% (à t = \tau) avec 37\% (qui concerne la décharge ou le courant).
  • Erreur sur le signe de l'exposant : c'est e^{-t/\tau}.

Pour l'épreuve

L'établissement et la résolution de l'équation différentielle sont des incontournables, tout comme la lecture graphique de \tau. On valorise la vérification d'une solution (dérivation + report + condition initiale) et l'interprétation physique des comportements initial (condensateur = fil) et final (condensateur = interrupteur ouvert).