Évolution temporelle dans un circuit : décharge d'un dipôle RC

Spé. Physique-Chimie · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

L'essentiel

Un condensateur chargé sous une tension U_0 qui se trouve relié à une résistance R (sans générateur dans la maille) se décharge : il restitue son énergie.

La loi des mailles s'écrit u_C + u_R = 0, soit u_C + Ri = 0. Avec i = C\dfrac{du_C}{dt}, on obtient l'équation différentielle homogène : \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C = 0, \quad \text{soit} \quad \tau \frac{du_C}{dt} + u_C = 0 \;\; (\tau = RC).

La solution, avec u_C(0) = U_0, est une décroissance exponentielle : u_C(t) = U_0\, e^{-t/\tau}. La tension décroît de U_0 vers 0. Le courant de décharge vaut : i(t) = -\frac{U_0}{R} e^{-t/\tau}, il est négatif (sens opposé à la charge) car le condensateur débite dans la résistance.

La constante de temps \tau = RC règle la rapidité : à t = \tau, il reste 37\% de U_0 (e^{-1} \approx 0{,}37) ; à t = 5\tau, la décharge est pratiquement terminée. Graphiquement, la tangente à l'origine coupe l'axe des temps à t = \tau, ou \tau correspond à u_C = 0{,}37\,U_0.

_Figure : décharge du condensateur, la tangente à l'origine coupe l'axe des temps en t = τ, et la tension vaut 0,37·U₀ à cet instant._

Pour trouver la durée jusqu'à un seuil u, on inverse l'exponentielle : t = \tau \ln\!\left(\dfrac{U_0}{u}\right).

Enfin, sur le plan énergétique, l'énergie E = \frac{1}{2} C U_0^{2} initialement stockée est entièrement dissipée par effet Joule dans la résistance.

Formules et schémas clés

  • Équation différentielle : \tau \dfrac{du_C}{dt} + u_C = 0.
  • Solution : u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau}, \tau = RC.
  • Courant : i(t) = -\dfrac{U_0}{R} e^{-t/\tau}.
  • Durée jusqu'à un seuil : t = \tau \ln\!\left(\dfrac{U_0}{u}\right).
  • Repères : u_C(\tau) \approx 0{,}37\,U_0 ; u_C(5\tau) \approx 0.

Méthode type bac

1. Établir l'équation : loi des mailles sans générateur, u_C + Ri = 0. 2. Vérifier la solution exponentielle par dérivation et report. 3. Lire \tau (tangente à l'origine ou seuil 0{,}37\,U_0). 4. Pour une durée jusqu'à un seuil, isoler t avec le logarithme népérien.

Pièges

  • Confondre 37\% (décharge, ce qui reste) et 63\% (charge, ce qui est atteint).
  • Oublier le signe - du courant de décharge.
  • Mauvaise manipulation du \ln : t = \tau \ln(U_0/u), pas \ln(u/U_0).
  • Croire que l'énergie disparaît : elle est dissipée par effet Joule.

Pour l'épreuve

La décharge est le pendant de la charge : on attend la même rigueur sur l'équation différentielle, la solution exponentielle et la lecture de \tau. Le calcul d'une durée jusqu'à un seuil (mémoire de sauvegarde, temporisation) via le logarithme est un grand classique de type bac, tout comme le bilan énergétique (dissipation Joule).