Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

Spé. Physique-Chimie · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

L'essentiel

Un projectile est un point matériel lancé avec une vitesse initiale \vec{v_0} et soumis à sa seule pesanteur (frottements négligés). La deuxième loi de Newton donne, comme pour la chute libre, \vec{a} = \vec{g} : l'accélération est constante et verticale, dirigée vers le bas.

L'idée clé est l'indépendance des mouvements : la projection horizontale est un mouvement uniforme (a_x = 0, v_x constante), la projection verticale est un mouvement uniformément accéléré (a_y = -g). La combinaison des deux donne une trajectoire parabolique. Concrètement, cela signifie qu'une balle lâchée et une balle lancée horizontalement depuis la même hauteur touchent le sol exactement au même instant : la composante verticale du mouvement ne dépend pas de la vitesse horizontale.

Trois grandeurs résument une trajectoire : la flèche (hauteur maximale atteinte, où v_y = 0), la portée (distance horizontale au point de retombée) et la durée de vol. La portée est maximale pour un angle de tir de 45° lorsque le départ et l'arrivée sont à la même altitude. Toute la richesse des exercices vient de l'ajustement de ces grandeurs au contexte (tir au but, saut, jet d'eau), souvent avec une hauteur initiale non nulle qu'il ne faut pas oublier.

Formules et schémas clés

Avec l'origine au point de lancer, axe y vers le haut, vitesse v_0 inclinée de \alpha :

  • Vitesse : v_x = v_0\cos\alpha ; v_y = -gt + v_0\sin\alpha
  • Position : x = v_0\cos\alpha\cdot t ; y = -\dfrac{1}{2}gt^{2} + v_0\sin\alpha\cdot t
  • Trajectoire : y = -\dfrac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}x^{2} + x\tan\alpha
  • Flèche : H = \dfrac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}
  • Portée (même altitude départ/arrivée) : P = \dfrac{v_0^{2}\sin(2\alpha)}{g}, maximale pour \alpha = 45°.

Méthode type bac

1. Système, référentiel galiléen, repère avec origine au lancer. 2. Bilan : poids seul, donc \vec{a} = \vec{g}. 3. Projeter et intégrer deux fois pour obtenir v_x, v_y, x, y. 4. Éliminer t entre x(t) et y(t) pour la trajectoire si demandée. 5. Pour un point précis (panier, cible), utiliser x = valeur pour trouver t, puis calculer y.

Pièges

  • La formule de la portée P = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g} suppose départ et arrivée à la même altitude : inapplicable si le projectile retombe plus bas.
  • Ne pas oublier la hauteur initiale h_0 dans y(t) si le lancer n'est pas au niveau du sol.
  • Au sommet de la trajectoire, v_y = 0 mais v_x \neq 0 : la vitesse n'est pas nulle.
  • Convertir les degrés correctement (calculatrice en mode degré).

Pour l'épreuve

Le correcteur attend les équations horaires établies par intégration, puis leur exploitation numérique. La justification du caractère parabolique par la forme y = ax^2 + bx rapporte des points. Pour un tir au but (panier, cible), la démarche standard est : trouver t par x, puis comparer y calculé à la hauteur de la cible. Soignez les unités et les chiffres significatifs.