Mouvement dans un champ de gravitation

Spé. Physique-Chimie · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

L'essentiel

La loi de la gravitation universelle de Newton (1687) décrit l'attraction entre deux masses : \vec{F} = -G\dfrac{Mm}{r^{2}}\vec{u}_r, avec G = 6{,}674\times10^{-11} N·m^2·kg^{-2}. La force est toujours attractive et décroît comme 1/r^2.

On associe à un astre de masse M un champ de gravitation \vec{\mathcal{G}}(r) = -\dfrac{GM}{r^{2}}\vec{u}_r, tel que tout corps de masse m subit \vec{F} = m\vec{\mathcal{G}}. Près de la surface terrestre, \vec{\mathcal{G}} = \vec{g}.

Pour un satellite en orbite circulaire, la force gravitationnelle est purement centripète (dirigée vers l'astre central). La composante tangentielle de l'accélération est alors nulle : la valeur de la vitesse ne change pas, le mouvement est circulaire uniforme. On en déduit la vitesse, la période, et la troisième loi de Kepler.

Cette dernière, \dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}, est remarquable : le rapport ne dépend que de la masse M de l'astre central, pas du satellite. C'est elle qui permet, en mesurant la période et le rayon orbital d'un satellite ou d'une lune, de peser une planète ou une étoile sans s'y rendre. Historiquement, Kepler avait établi cette loi de façon empirique sur les planètes du système solaire ; Newton l'a ensuite démontrée à partir de sa loi de gravitation, unifiant la mécanique céleste et la mécanique terrestre. C'est aussi cette loi qui fixe l'altitude unique des satellites géostationnaires, indispensables aux télécommunications.

Formules et schémas clés

  • Force : \vec{F} = -G\dfrac{Mm}{r^{2}}\vec{u}_r
  • Champ : \mathcal{G} = \dfrac{GM}{r^{2}} (N·kg^{-1})
  • Vitesse orbitale : v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}
  • Période : T = \dfrac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{GM}}
  • 3e loi de Kepler : \dfrac{T^{2}}{r^{3}} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}
  • Accélération centripète : a = \dfrac{v^{2}}{r} = \dfrac{GM}{r^{2}}

Méthode type bac

1. Système (satellite), référentiel géocentrique ou héliocentrique supposé galiléen. 2. Bilan : seule la force de gravitation de l'astre central. 3. Deuxième loi dans le repère de Frenet : projection sur \vec{u}_N donne \dfrac{mv^2}{r} = \dfrac{GMm}{r^2}. 4. En déduire v, puis T, puis la troisième loi de Kepler. 5. Pour une masse d'astre inconnue, isoler M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}.

Pièges

  • La vitesse orbitale ne dépend pas de la masse du satellite, seulement de M et r.
  • Distinguer altitude z et rayon orbital r = R_{astre} + z.
  • Convertir les périodes en secondes (jours \to s) avant tout calcul.
  • Le mouvement circulaire est uniforme seulement si l'orbite est circulaire ; sur une ellipse, la vitesse varie (2e loi de Kepler).

Pour l'épreuve

Le jury attend la démonstration de v = \sqrt{GM/r} à partir de la deuxième loi en repère de Frenet, et celle de la troisième loi de Kepler. La détermination de la masse d'un astre central à partir de données orbitales (satellite, lune) est un classique du bac. Vérifiez l'homogénéité de M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2} et la cohérence avec les valeurs connues.