Théorème de Bernoulli

Spé. Physique-Chimie · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

L'essentiel

Le théorème de Bernoulli exprime la conservation de l'énergie pour un fluide en écoulement. Sous les hypothèses d'un fluide parfait (sans viscosité), incompressible (\rho constante), en écoulement stationnaire, la quantité suivante se conserve le long d'une ligne de courant : P + \dfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{cst}

Chaque terme est une énergie par unité de volume (en J·m^{-3} = Pa) : - P : pression statique, - \dfrac{1}{2}\rho v^{2} : pression dynamique (terme cinétique), - \rho g z : terme de pesanteur (énergie potentielle volumique).

Conséquence majeure, l'effet Venturi : dans un rétrécissement horizontal, la vitesse augmente (conservation du débit) donc la pression diminue. Là où le fluide va vite, la pression est faible. Cet effet explique la portance d'une aile, la trompe à eau, le fonctionnement d'un atomiseur.

Autre application directe, la formule de Torricelli : un liquide s'écoulant par un orifice à la profondeur h sous la surface libre d'un réservoir ouvert sort à la vitesse v = \sqrt{2gh}, exactement comme s'il était tombé en chute libre de la hauteur h.

Formules et schémas clés

  • Bernoulli : P + \dfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{cst}
  • Conduite horizontale : P_1 + \dfrac{1}{2}\rho v_1^{2} = P_2 + \dfrac{1}{2}\rho v_2^{2}
  • Torricelli : v = \sqrt{2gh}
  • Couplage avec la conservation du débit : S_1 v_1 = S_2 v_2

Méthode type bac

1. Vérifier que les hypothèses sont satisfaites (fluide parfait, incompressible, stationnaire). 2. Choisir deux points sur la même ligne de courant (souvent surface libre et sortie). 3. Écrire l'égalité de Bernoulli entre ces deux points. 4. Simplifier : pressions atmosphériques égales, vitesse négligeable à la surface (v_1 \approx 0), même altitude pour une conduite horizontale. 5. Isoler la grandeur cherchée (vitesse, pression), puis le débit éventuel par D_V = Sv.

Pièges

  • Bernoulli ne s'applique que le long d'une même ligne de courant et pour un fluide parfait.
  • Ne pas oublier le terme \rho g z quand les deux points sont à des altitudes différentes.
  • À la surface libre d'un grand réservoir, v \approx 0 : c'est cette approximation qui mène à Torricelli.
  • Les pressions s'expriment en Pa ; bien convertir et garder l'homogénéité (J·m^{-3} = Pa).

Pour l'épreuve

Les sujets de bac couplent souvent Bernoulli et conservation du débit (château d'eau, Venturi, jet d'eau). Le correcteur attend : énoncé des hypothèses, choix justifié des deux points, simplifications correctes, résultat numérique avec unité. La démonstration de Torricelli et l'interprétation de l'effet Venturi (vitesse haute = pression basse) sont des classiques très valorisés.