Apprendre à utiliser des symboles importants dans le raisonnement par récurrence

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Le symbole somme \sum (sigma) condense l'écriture d'une addition de termes indexés : \sum_{k=p}^{n} a_k=a_p+a_{p+1}+\dots+a_n. k est l'indice de sommation (muet, on peut le renommer), p la borne inférieure, n la borne supérieure. Le symbole produit \prod joue le même rôle pour la multiplication : \prod_{k=1}^{n} k=n!.

Formules

  • Isoler le dernier terme : \displaystyle\sum_{k=p}^{n+1} a_k=\left(\sum_{k=p}^{n} a_k\right)+a_{n+1}. C'est l'identité utilisée dans toutes les hérédités de somme.
  • Nombre de termes : \sum_{k=p}^{n} contient n-p+1 termes.
  • Linéarité : \sum(a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k et \sum(\lambda a_k)=\lambda\sum a_k.
  • Somme constante : \sum_{k=1}^{n} c=nc.

Méthodes type bac

  • Développer une somme : écrire explicitement les premiers et derniers termes pour comprendre l'expression.
  • Préparer une hérédité : transformer \sum_{k=p}^{n+1} en \sum_{k=p}^{n}+a_{n+1} pour pouvoir injecter l'hypothèse de récurrence.
  • Reconnaître une somme connue : sommes arithmétique (\sum k), géométrique (\sum q^k), des carrés (\sum k^2).

Pièges

  • L'indice est muet : ne pas le confondre avec la variable n des bornes.
  • Compter les termes : \sum_{k=0}^{n} a n+1 termes (le +1 s'oublie facilement).
  • Ne pas « sortir » un terme dépendant de k comme s'il était constant : seule une constante vraie peut être factorisée.

Exemple complet d'usage du symbole. Pour S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1) : on calcule S_1=1, S_2=1+3=4, S_3=1+3+5=9, ce qui suggère S_n=n^2. L'identité « isoler le dernier terme » donne S_{n+1}=S_n+(2(n+1)-1)=n^2+2n+1=(n+1)^2 : l'hérédité est immédiate. On voit que tout l'intérêt du symbole est de transformer une longue addition en une expression manipulable.

Pour l'épreuve

La maîtrise du symbole \sum est le prérequis des récurrences de sommes. L'identité « isoler le dernier terme » est l'outil n°1 de l'hérédité : sache l'écrire sans hésiter. Repère vite les sommes de référence pour appliquer directement leurs formules closes. Pense aussi au symbole produit \prod et à la factorielle n!=\prod_{k=1}^{n} k, qui interviennent en dénombrement et en probabilités. Ne traite jamais l'indice de sommation comme une vraie variable du problème : il est muet.