Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
La convexité décrit la forme « creusée » de la courbe d'une fonction. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et \mathcal{C}_f sa courbe représentative.
f est convexe sur I si, pour tout couple de points A et B de \mathcal{C}_f, le segment [AB] (la corde) est situé au-dessus de la courbe entre A et B.
f est concave sur I si toute corde [AB] est située en dessous de la courbe entre A et B.
Caractérisation par les tangentes (pour f dérivable) :
f convexe sur I \iff \mathcal{C}_f est au-dessus de toutes ses tangentes sur I.
f concave sur I \iff \mathcal{C}_f est en dessous de toutes ses tangentes sur I.
_Figure : fonction convexe, la corde [AB] est au-dessus de la courbe entre A et B, la tangente en T est en dessous._
Caractérisation par la dérivée :
f convexe sur I \iff f' est croissante sur I.
f concave sur I \iff f' est décroissante sur I.
Formules à connaître
Fonctions de référence sur leur ensemble de définition :
Convexes : x\mapsto x^2, x\mapsto e^x, x\mapsto \dfrac{1}{x} sur ]0\,;+\infty[.
Concaves : x\mapsto \sqrt{x} et x\mapsto \ln(x) sur ]0\,;+\infty[.
Inégalité de convexité : si f est convexe sur [a\,;b], sa courbe reste sous chaque corde et au-dessus de chaque tangente.
Méthodes type bac
Lire la convexité sur un graphique : si la courbe « tourne vers le haut » (en forme de vallée), f est convexe ; si elle « tourne vers le bas » (en forme de colline), f est concave.
Justifier sans calcul : invoquer la position courbe/cordes ou courbe/tangentes.
Encadrer une valeur : pour f convexe, f(x) est inférieur ou égal à l'ordonnée de la corde et supérieur ou égal à l'ordonnée de la tangente.
Pièges fréquents
Ne pas confondre sens de variation (lié au signe de f') et convexité (liée au sens de variation de f'). Une fonction décroissante peut être convexe (ex. x\mapsto \dfrac{1}{x} sur ]0\,;+\infty[).
La corde n'est au-dessus de la courbe qu'entre ses deux extrémités A et B, pas au-delà.
Un point d'inflexion n'est pas un extremum : la courbe y traverse sa tangente, elle ne « rebrousse » pas.
Pour l'épreuve
Sache lire et justifier la convexité à la fois graphiquement (cordes, tangentes) et analytiquement (variations de f', signe de f'' vu au chapitre suivant). Une question fréquente : « justifier que la courbe est au-dessus de telle tangente », ce qui revient à invoquer la convexité de f.