Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Une base de l'espace est un triplet de vecteurs (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) non coplanaires. La propriete fondamentale est que tout vecteur \vec{u} de l'espace se decompose de maniere unique sous la forme \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} ; les reels x, y, z sont les coordonnees de \vec{u} dans cette base.
Un repere est la donnee d'un point O (l'origine) et d'une base (\vec{i},\vec{j},\vec{k}). Les coordonnees d'un point M sont celles du vecteur \vec{OM}. Un repere est orthonorme si les vecteurs de base sont deux a deux orthogonaux et de norme 1.
Verifier qu'un triplet est une base. Montrer que les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : poser \vec{e_3}=a\vec{e_1}+b\vec{e_2} et montrer que le systeme est incompatible.
Decomposer un vecteur dans une base. Poser \vec{u}=\alpha\vec{e_1}+\beta\vec{e_2}+\gamma\vec{e_3} et resoudre le systeme lineaire 3\times 3 obtenu en identifiant les coordonnees.
Soit \vec{e_1}\,(1\,;1\,;0), \vec{e_2}\,(1\,;0\,;1), \vec{e_3}\,(0\,;1\,;1). On verifie que c'est une base : \vec{e_3}=a\vec{e_1}+b\vec{e_2} imposerait a+b=0, a=1, b=1, soit a+b=2\neq 0, contradiction. Les vecteurs ne sont pas coplanaires, ils forment donc une base de l'espace. Tout vecteur se decompose alors de maniere unique dans cette base. Cette unicite est ce qui donne un sens aux coordonnees : sans elle, parler des coordonnees d'un point n'aurait aucun sens. La verification de la non-coplanarite est donc le passage oblige avant d'utiliser un nouveau repere.
Le repere \left(A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right) du cube est l'ami du candidat : c'est une base car ces trois aretes ne sont pas coplanaires. Pour un changement de base, le systeme 3\times 3 se resout par substitution ; garde les fractions exactes. La non-coplanarite est la cle de toute justification de base : reviens toujours a ce critere. Pour conclure, souviens-toi que la notion de base est le fondement invisible de tout le chapitre : sans elle, aucune coordonnee n'aurait de sens. Chaque fois que l'enonce te propose un repere, tu peux supposer qu'il est valide, mais si l'on te demande de le justifier, reviens systematiquement au critere de non-coplanarite. C'est une question classique et rapide qui rapporte des points surs a l'examen.