Calcul d'aires

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Calcul d'aires

Définitions et théorèmes

L'intégrale permet de calculer des aires planes. Les configurations classiques :

1. Aire sous une courbe positive. Si f est continue et f \geq 0 sur [a\,;b], l'aire du domaine entre \mathcal{C}_f et l'axe des abscisses (entre x=a et x=b) vaut \mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \ \text{(u.a.)}.

2. Aire sous une courbe négative. Si f \leq 0 sur [a\,;b], l'aire (toujours positive) vaut \mathcal{A} = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

3. Aire entre deux courbes. Si f \geq g sur [a\,;b], l'aire du domaine compris entre \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g vaut \mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x \ \text{(u.a.)}. On intègre toujours « courbe du dessus moins courbe du dessous ».

Unité. En repère orthogonal, 1 u.a. = \|\vec{\imath}\| \times \|\vec{\jmath}\| (en cm²).

Formules à connaître

  • f \geq 0 : \mathcal{A} = \int_a^b f.
  • f \leq 0 : \mathcal{A} = -\int_a^b f.
  • Entre courbes (f \geq g) : \mathcal{A} = \int_a^b (f - g).

Méthodes type bac

1. Déterminer les bornes : si elles ne sont pas données, résoudre f(x) = g(x) (ou f(x) = 0). 2. Étudier la position relative : signe de f - g pour savoir qui est au-dessus. 3. Calculer l'intégrale de la différence (du dessus moins le dessous). 4. Convertir en cm² si demandé, via la valeur d'une u.a. 5. Découper si la fonction (ou la différence) change de signe : sommer les aires partielles.

Exemple complet : aire entre \mathcal{C}_f (f(x) = -x^2 + 2x + 3) et \mathcal{C}_g (g(x) = x + 1). On résout f(x) = g(x), soit x^2 - x - 2 = 0, qui donne x = -1 et x = 2 : ce sont les bornes. Sur [-1\,;2], f - g = -(x+1)(x-2) \geq 0, donc \mathcal{C}_f est au-dessus. L'aire vaut \int_{-1}^{2}(-x^2 + x + 2)\,\mathrm{d}x = \frac92 = 4{,}5 u.a. La méthode est toujours la même : intersections, position relative, intégrale de la différence.

Pièges fréquents

  • Intégrer g - f au lieu de f - g : on obtient une aire négative, donc une erreur. Toujours « dessus moins dessous ».
  • Oublier que pour f \leq 0 l'aire est l'opposé de l'intégrale.
  • Ne pas découper quand f - g change de signe sur l'intervalle : il faut alors sommer les aires partielles, toutes positives.
  • Confondre u.a. et cm² : tenir compte des échelles du repère.
  • Oublier de déterminer les bornes par les intersections quand elles ne sont pas données.

Pour l'épreuve

Le calcul d'aire est un classique de fin de problème, souvent rapporteur de plusieurs points. La démarche est toujours : déterminer les bornes (intersections ou zéros), étudier la position relative (signe de la différence), puis calculer l'intégrale de la différence. Soigner le signe est décisif pour ne pas perdre de points. Pense à donner l'aire en u.a. puis, si l'énoncé le demande, à la convertir en cm² grâce à la valeur d'une unité d'aire.