Calculs type bac (utilisation de la calculatrice)

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Pour une variable X suivant \mathcal{B}(n, p), la calculatrice (autorisée à l'épreuve) permet de calculer rapidement les probabilités, notamment cumulées, sans sommer à la main.

Deux fonctions essentielles : - densité (ponctuelle) : P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, obtenue par \text{binomFdp}(n\,;p\,;k) ; - cumulée : P(X \leqslant k) = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} P(X = i), obtenue par \text{binomFRép}(n\,;p\,;k).

Toutes les autres probabilités se ramènent à ces deux fonctions par les formules ci-dessous.

Formules à connaître

  • P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1).
  • P(X > k) = 1 - P(X \leqslant k).
  • P(X < k) = P(X \leqslant k-1).
  • P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a-1).
  • E(X) = np, V(X) = np(1-p), \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} (à faire à la main).

Méthodes type bac

Choisir la bonne fonction. « Exactement k » \to densité (\text{binomFdp}). « Au plus k », « inférieur ou égal » \to cumulée (\text{binomFRép}). Pour « au moins », « plus de », on passe au complémentaire en faisant attention au décalage k-1.

Encadrement. P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a-1) : bien retirer a-1 (et non a) pour conserver la valeur a.

Recherche de seuil. Pour trouver le plus petit k tel que P(X \leqslant k) \geqslant s, on calcule les probabilités cumulées en augmentant k jusqu'à franchir le seuil s.

Pièges fréquents

  • Décalage d'indice. P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1), et P(X > k) = 1 - P(X \leqslant k) : ne pas confondre « \geqslant » et « > ».
  • Borne inférieure d'un encadrement. Pour P(a \leqslant X \leqslant b), on retranche P(X \leqslant a-1), pas P(X \leqslant a).
  • Arrondis. Conserver suffisamment de décimales dans les étapes intermédiaires, arrondir seulement à la fin (souvent au millième).
  • Mode de la calculatrice. Vérifier les paramètres n, p, k dans le bon ordre selon le modèle.

Pour l'épreuve

La calculatrice est ton alliée pour les probabilités cumulées : maîtrise \text{binomFdp} (ponctuelle) et \text{binomFRép} (cumulée) sur ton modèle. Le point critique est la traduction des énoncés en probabilités cumulées : entraîne-toi sur P(X \geqslant k), P(X > k), P(a \leqslant X \leqslant b) et la recherche de seuil. Rédige toujours la formule utilisée avant de donner la valeur lue à la calculatrice : c'est ce qui est noté.