Cardinal d'un ensemble

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Le cardinal d'un ensemble fini E, noté \mathrm{Card}(E) (ou |E|, ou \#E), est le nombre de ses éléments. L'ensemble vide a pour cardinal 0.

Deux ensembles sont disjoints lorsque A \cap B = \varnothing. Une partie A d'un ensemble E a pour complémentaire \overline{A} l'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à A.

L'ensemble des parties de E, noté \mathcal{P}(E), contient toutes les parties de E, y compris \varnothing et E lui-même.

Formules à connaître

  • Complémentaire : \mathrm{Card}(\overline{A}) = \mathrm{Card}(E) - \mathrm{Card}(A).
  • Réunion disjointe : si A \cap B = \varnothing, \mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B).
  • Crible (deux ensembles) : \mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B).
  • Crible (trois ensembles) : \mathrm{Card}(A\cup B\cup C) = \mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)+\mathrm{Card}(C) - \mathrm{Card}(A\cap B) - \mathrm{Card}(A\cap C) - \mathrm{Card}(B\cap C) + \mathrm{Card}(A\cap B\cap C).
  • Produit cartésien : \mathrm{Card}(A \times B) = \mathrm{Card}(A) \times \mathrm{Card}(B).
  • Parties : si \mathrm{Card}(E) = n, alors \mathrm{Card}\big(\mathcal{P}(E)\big) = 2^n.

Méthodes type bac

Problème de comptage par diagramme. Pour des données de type sondage, on traduit chaque effectif dans un diagramme de Venn. On commence toujours par la zone centrale A \cap B \cap C, puis on remplit les intersections deux à deux en retranchant la zone centrale, enfin les zones « seules ». La somme de toutes les zones donne \mathrm{Card}(A \cup B \cup C).

Passer par le complémentaire. Quand l'énoncé dit « au moins un », il est souvent plus rapide de calculer le nombre de cas « aucun », puis de retrancher : \mathrm{Card}(\text{au moins un}) = \mathrm{Card}(E) - \mathrm{Card}(\text{aucun}).

Pièges fréquents

  • Ne jamais oublier le terme -\mathrm{Card}(A\cap B) : sommer simplement \mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B) compte deux fois l'intersection.
  • Dans le crible à trois ensembles, le terme +\mathrm{Card}(A\cap B\cap C) se rajoute (signe +) : il a été retranché trois fois puis il faut le réintroduire.
  • « Exactement un » n'est pas « au moins un » : pour « exactement un », on enlève les intersections.

Pour l'épreuve

Les exercices de dénombrement de Terminale combinent souvent le cardinal avec les probabilités : un effectif divisé par le cardinal de l'univers donne une probabilité. Soigne la phrase de définition de chaque ensemble avant de compter, et vérifie la cohérence finale (la somme des zones disjointes ne doit jamais dépasser le cardinal de l'univers). Une erreur de signe dans le crible coûte plusieurs points : recompte toujours.