Combinaisons d'un ensemble fini

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit E un ensemble fini à n éléments et k un entier avec 0 \leqslant k \leqslant n. Une combinaison de k éléments de E est une partie à k éléments de E : un choix non ordonné et sans répétition de k éléments.

Théorème (nombre de combinaisons). Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n, appelé coefficient binomial, vaut \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} = \dfrac{A_n^k}{k!}.

L'égalité \binom{n}{k} = \dfrac{A_n^k}{k!} s'interprète ainsi : à chaque combinaison de k éléments correspondent k! arrangements (les k! façons de les ordonner) ; on divise donc le nombre d'arrangements par k!.

Formules à connaître

  • \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}.
  • \dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1 ; \dbinom{n}{1} = \dbinom{n}{n-1} = n.
  • \dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}.
  • Symétrie : \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}.

Méthodes type bac

Reconnaître le modèle. « Tirage simultané », « main de cartes », « comité / délégation sans hiérarchie », « choisir un sous-ensemble » : l'ordre ne compte pas, c'est une combinaison.

Compter par catégories. Pour « a éléments d'un type ET b d'un autre type », on multiplie les combinaisons de chaque catégorie : \binom{\cdot}{a} \times \binom{\cdot}{b} (principe multiplicatif). Si plusieurs configurations conviennent (cas exclusifs), on additionne.

Au moins / au plus. « Au moins un … » se traite souvent par le complémentaire : total - « aucun … ». « Au plus k » s'obtient en additionnant les combinaisons de tailles 0 à k.

Pièges fréquents

  • Confondre avec l'arrangement. Si l'ordre compte (podium, code), c'est A_n^k ; sinon \binom{n}{k}.
  • Additionner au lieu de multiplier. « 2 rouges ET 1 verte » se multiplie ; ne pas additionner.
  • Oublier la symétrie. \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} simplifie souvent les calculs (ex. \binom{49}{47} = \binom{49}{2}).

Pour l'épreuve

Le mot-clé décisif est « simultané » ou « sans ordre » \Rightarrow combinaison \binom{n}{k}. Calcule \binom{n}{k} avec la formule « k facteurs décroissants sur k! » : \binom{12}{3} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220. La calculatrice possède une touche dédiée (nCr), mais sache le faire à la main. Les combinaisons sont la brique des probabilités (loi binomiale notamment), maîtrise-les parfaitement.

Pour les exercices à catégories (boules de couleurs, filles et garçons, cartes de différentes hauteurs), pose toujours le calcul comme un produit de combinaisons, une par catégorie, et n'additionne que si plusieurs répartitions distinctes répondent à la question. Vérifie aussi la cohérence : la somme du nombre de choix sur toutes les répartitions possibles doit redonner le nombre total de tirages \binom{n}{k}. Enfin, pour « au moins un élément d'un certain type », le passage au complémentaire (retrancher le tirage qui n'en contient aucun) est presque toujours la voie la plus rapide et la moins risquée. Cette gymnastique entre produit, somme et complémentaire est exactement ce que l'épreuve évalue dans les exercices de dénombrement appliqué aux probabilités.