Composée de deux fonctions

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Composée. Soit u définie sur I à valeurs dans J, et v définie sur J. La composée v \circ u est la fonction (v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big). On applique d'abord la fonction interne u, puis la fonction externe v.

Domaine. x appartient au domaine de v \circ u lorsque x est dans le domaine de u et u(x) dans le domaine de v.

La composition n'est pas commutative. En général v \circ u \neq u \circ v.

Continuité. Si u est continue en a et v continue en u(a), alors v \circ u est continue en a.

Sens de variation. Si u est monotone sur I et v monotone sur u(I) : la composée est croissante si u et v varient dans le même sens, décroissante si elles varient en sens contraires (règle des signes).

Formules à connaître

  • Conditions d'existence : \sqrt{u} exige u \geqslant 0 ; \ln(u) exige u > 0 ; \dfrac{1}{u} exige u \neq 0.
  • (v \circ u)(x) = v(u(x)) : ne jamais intervertir l'ordre.

Méthodes type bac

1. Reconnaître une composée : identifier la dernière opération effectuée (la fonction externe v) et ce qui se trouve à l'intérieur (la fonction interne u). Cette décomposition est indispensable avant de dériver une composée au chapitre suivant. 2. Déterminer le domaine : poser la condition imposée par la fonction externe sur l'expression interne u(x), puis résoudre l'inéquation correspondante, souvent à l'aide d'un tableau de signes. 3. Étudier les variations : composer les sens de variation de u et de v selon la règle des signes des monotonies (même sens \Rightarrow croissante, sens contraires \Rightarrow décroissante).

Pièges fréquents

  • Confondre v \circ u et u \circ v : l'ordre compte, la composition n'est pas commutative.
  • Oublier les conditions d'existence : un \ln ou une racine impose une contrainte sur l'expression interne (u > 0 ou u \geqslant 0).
  • Pour le domaine, n'imposer la condition qu'à la fonction externe sans vérifier aussi le domaine de la fonction interne u.
  • Mal lire l'imbrication : dans \sqrt{x^2 + 1}, l'interne est x^2 + 1, pas seulement x.

Pour l'épreuve

Savoir décomposer une fonction est le prérequis pour la dériver : c'est l'étape « lecture de la structure » sans laquelle la formule de dérivation composée ne s'applique pas. Entraîne-toi à lire « de l'extérieur vers l'intérieur » : dans e^{-x^2}, l'externe est \exp et l'interne est -x^2 ; dans \ln(x^2 + 1), l'externe est \ln et l'interne est x^2 + 1. La détermination du domaine d'une composée comportant un \ln ou une racine est une question fréquente qui se résout par un tableau de signes soigné : on écrit la condition d'existence, on résout l'inéquation, puis on donne l'ensemble de définition sous forme de réunion d'intervalles. Enfin, garde présent à l'esprit que continuité et sens de variation se transmettent par composition, ce qui sert à justifier la régularité de fonctions complexes sans nouveau calcul de limite.